瞬間移動

有一個無限大的矩形，初始時你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以選擇一個右下方格子，並瞬移過去（如從下圖中的紅色格子能直接瞬移到藍色格子），求到第$n$行第$m$列的格子有幾種方案，答案對$1000000007$取模。

多組測試資料。

兩個整數$n,m(2\le n,m\le 100000)$

一個整數表示答案

4 5

10

分析：

畫幾個數之後就可以發現規律了，可以看出是一個傾斜45度的楊輝三角，每個位置的的數相當於：從楊輝三角第（n+m-4)層，取m-2個數。

因為會有除法取模，所以要用逆元。

有兩個公式：

這兩個公式實際上是等價的，只是用程式碼實現的時候會有所差別。

我是用第二個寫的：

#include<cstdio>
#include<cstring>
const long long mod=1000000007;
typedef long long ll;
const int N=100002;
ll inv[N];
int main()
{
    int n,m;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(n==1||m==1){
            printf("0\n");continue;
        }
        n=n+m-4;
        m=m-2;
        ll ans=1;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            ans=(ans*(ll)(n-i+1))%mod;
            ans=(ans*inv[i])%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
 

可以用擴充套件歐幾里德定理，費馬小定理（這需要快速冪實現），或者上面那個遞推公式。

對於這題，是用楊輝三角來做的，也有人的思路是：

給我們一個座標，我們可以得出可以移動到的區域即（n-2）*（m-2）。列舉要在這個區域停留幾次，C(y,k)，表示從y列中選k列去停，C（x，k）表示從x行中選哪k行去停。所以乘積累加即為結果。

這種《問題分解》的思想是值得學習的，就像UVa 11134這題的思想是一致的。