多層迴歸模型（Multi-level model）中有很多容易混淆的概念，因為很多概念是來源於不同的專業背景。首先讓我們先羅列這些名詞進行區分，再來R語言來舉例。

多層迴歸模型通常涉及到對同一個體進行反覆測量，這樣得到的資料就不再相互獨立而是存在某種相關性，所以普通線性迴歸不再適用。當這種反覆測量是在不同時點上進行時，這就稱為面板資料分析（panel data analysis）或者縱向資料分析（longitudinal data analysis）。


Fixed Effect：固定效應，也就是普通線性迴歸中處理的預測變數，它在模型中對響應變數的期望造成影響，其因子水平包含明確的資訊，通常是在實驗中加以控制的因素。

Random Effect：隨機效應，也就是一個隨機變數，估計它是沒有意義的。它在模型中對響應變數的方差造成影響，其因子水平包含資訊不清楚，通常在實驗中無法控制的因素，例如在面板資料分析中，不同的個體差異就是隨機效應。

Mix effect model：混合效應模型，模型中包含了fixed effect和random effect，根據random effect的影響，又區別為對模型截距的影響（random intercept）和對模型截距與斜率的影響（random intercept and slope）。

假設一個面板資料中個體之間存在差異，那麼它是一個random effect。它的影響分兩種情況，一種是隻影響截距，即是它與模型中其它預測變數相加，如果對不同個體分別作線性迴歸，那麼得到迴歸線截距會不同，但迴歸線平行，此時又稱為固定效應迴歸模型（Fixed Effects Regression Model）。另一種同時影響模型截距與斜率，是指它還與其它變數相乘，那麼分別得到的迴歸線截距和斜率都不同，此時又稱為隨機效應模型（Random Effects Regression Model）。

如果模型中不考慮random effect，也就是認為個體和時間都沒有顯著性差異，此時模型退化為混合估計模型（Pooled Regression Model），此時可以直接把面板資料混合在一起用普通線性迴歸估計引數。

下面我們以faraway包中的psid資料來舉例，該資料集是對美國人的收入情況進行調查所得到的，其中包括了年齡、教育、性別、時間和個體ID這幾個變數，我們希望瞭解這些因素對收入的影響。
  age educ sex income year person
1  31   12   M   6000   68      1
2  31   12   M   5300   69      1
3  31   12   M   5200   70      1
4  31   12   M   6900   71      1
5  31   12   M   7500   72      1
6  31   12   M   8000   73      1

如果假設認為這些調查物件是同質的，也就是個體間沒有差異性，那麼可以將資料完全彙集（complete pooling）到一起，直接利用lm函式進行迴歸。但這個混合效應模型的同質假設往往不成立，資料彙集導致過度簡化。

另一種思路是假設研究的異質性，將不同的個體分別進行迴歸，從而得到針對特定個體的估計值，這稱為不彙集（no pooling）。但這種方法導致每個迴歸所用到的樣本減少，從而難以估計統計量的標準差。

多層迴歸模型的思路是前兩者的折中，所以又稱為部分彙集（partial pooling）。在R語言中我們使用lme4包中的lmer函式來完成這項工作。首先載入faraway包以便讀取psid資料集，然後載入mgcv包，再將年份資料中心化以方便解釋模型，最後用lmer函式進行建模。
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library(faraway)
library(lme4)
psid$cyear <- psid$year-78 
model1=lmer(log(income) ~ cyear*sex +age+educ+(cyear|person),psid) 
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lmer函式使用和lm是類似的，一般變量表示固定效應，括號內豎線右側的person表示它是一個隨機效應，它與模型中其它變數相加，而且與年份cyear變數相乘，影響其斜率。這就是一個隨機效應模型。如果認為隨機效應隻影響模型截距，那麼固定效應迴歸模型可以用下面的公式
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model2=lmer(log(income) ~ cyear*sex +age+educ+(1|person),psid)
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為了判斷哪一個模型更為合適，可以使用anova函式，從結果中觀察到P值很小，判斷應當使用model1
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anova(model1,model2)

Data: psid
Models:
model2: log(income) ~ cyear * sex + age + educ + (1 | person)
model1: log(income) ~ cyear * sex + age + educ + (cyear | person)
       Df    AIC    BIC  logLik  Chisq Chi Df
model2  8 3943.9 3987.2 -1963.9              
model1 10 3805.6 3859.7 -1892.8 142.27      2
       Pr(>Chisq)    
model2               
model1  < 2.2e-16 ***
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得到的模型結果還可以用各種泛型函式如summary、predict、resid進行進一步處理。當響應變數不符合正態分佈假設時，還可以用廣義多層迴歸進行(glmer)建模

參考資料：
環境與生態統計--R語言的應用
The R Book
A_Handbook_of_Statistical_Analyses_Using_R
Extending_the_Linear_Model_with_R__Generalized_Linear__Mixed_Effects_and_Nonparametric_Regression_Model