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快速傅裏葉變換\(\text{(FFT)}\)

筆者學習的是這份博客
內容中可能有很多相同之處，敬請諒解。

現在要計算兩個一元\(n\)次多項式\(F(x)\)與\(G(x)\)的乘積，如何計算？
前置知識：多項式的表示方法
一. 系數表示法
對於一個\(n\)次多項式\(F(x)\)，它可以被表示成
\[F(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0x^0.\]
更加形式化的來說，它可以表示成
\[F(x) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i.\]
舉個例子，2次多項式，其中\(a_0=1,a_1=2,a_2=1\)
那麽\(F(x)=1x^2+2x+1.\)

這樣即可通俗的表示出一個\(n\)次多項式。
二. 點值表示法
眾所周知，兩個點確定一個一次函數，三個點確定一個二次函數。
所以，\(n+1\)個點確定一個一元\(n\)次多項式。
所以我們可以通過\(n+1\)個點來表示它。
那麽相乘之後的點值如何計算？
比如說兩個2次多項式\(F(x)=x^2+2x+1\)（紅色）與\(G(x)=3x^2-4x-2\)（藍色），它們的圖像如圖所示：

那麽觀察圖中\(x=1\)時的情況。此時\(F(1)=4,G(1)=-3.\)
所以，顯然，\(F(1)\times G(1)=-12\).也就是說在\(Z=F*G\)這一多項式內，帶入\(1\)，得到的結果是\(-12\).
等等，好像有哪裏不對。如果說\(Z=F*G\)的話，那麽Z的次數應該是\(2n\).
那\(Z\)需要\(2n+1\)個點來確定。但是原來只需要\(n+1\)個點，咋辦？
很簡單，在原來的多項式裏每個都多加\(n\)個點即可。反正多項式已知。
這樣就可以用點值來進行操作。也就是說先轉成點值，再一乘，再轉回來，就是計算流程。
但是好像還是很慢。那麽如何優化呢?
復數部分
復數，即形如\(a+bi\)的數，其中\(\sqrt{i}=-1.\) \(a\)稱為實部，\(bi\)稱為虛部。
或者說：在一個數軸上（只有x軸），我們可以表示出任何實數。
那麽，多加一維（y軸），也就是類似於平面直角坐標系一樣，我們就可以表示出任意一個復數。
所以我們把這個坐標系叫做復平面，其中x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸。
復數運算
復數相加：實部相加，虛部相加，例如
\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\]
復數相減：同理。
\[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.\]
復數相乘：像一次多項式一樣相乘。 註意\(i^2=-1\).
\[(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.\]
復數相除：
相信大家都學過共軛根式。同樣的，復數也有共軛。
即：\(a+bi\)的共軛為\(a-bi\)。
這兩個復數卡乘在一起一定是個實數。即
\[(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2.\]
所以再除的時候，將分子分母同乘分母的共軛，就可以將分母有理化。
即
\[\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.\]
復數逆元：
\[\frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.\]

FFT詳解