初始情況： 0, 1, 2 ......n-2, n-1 (共n個人)

第一個人(編號一定是(m-1)%n,設之為(k-1) ,讀者可以分m<n和m>=n的情況分別試下，就可以得出結論) 出列之後，

剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k==m%n的人開始）:

 k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ...,k-3, k-2 

現在我們把他們的編號做一下轉換：

x' -> x

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎！

0 -> k

1 -> k+1

2 -> k+2

...

...

n-2 -> k-2

變回去的公式　x'=(x+k)%n

那麼，如何知道(n-1)個人報數的問題的解？只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？只要知道(n-3)的情況就可以了 ---- 這顯然就是一個遞迴問題：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果就是f[n]


遞推公式


f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+k)%i = (f[i-1] +m%i) % i = (f[i-1] + m) % i ;  (i>1)

1.遞迴：

#include <stdio.h>
int josephus(int n, int m) {
	if(n == 1) {
		return 0;
	}
	else {
		return (josephus(n-1, m) + m) % n;
	}
}

int main() {
	int n, m;
	while (scanf("%d", &n) == 1) {
		if (!n) {
			break;
		}
		scanf("%d", &m);
		int result = josephus(n, m);
		printf("%d\n", result+1);
	}
	return 0;
}
 

2.迭代：

#include <stdio.h>
int main() {
	int n, m, i, result;
	while (scanf("%d", &n) == 1) {
		if (!n) {
			break;
		}
		scanf("%d", &m);
		result = 0;
		for (i = 2; i <= n; i++) {
			result = (result + m) % i;
		}
		printf("%d\n", result + 1);
	}
	return 0;
}