樹狀陣列(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改一個元素的值。

修改和求和的時間複雜度：logn

設節點編號為x，那麼這個節點管轄的區間為2^k（其中k為x二進位制末尾0的個數）個元素。

例如：

C1（0001） = A1                                                                 k=0，管轄區域1

C2（0010） = A1 + A2                                                        k=1，管轄區域2

C3（0011） = A3                                                                 k=0，管轄區域1

C4（0100） = A1 + A2 + A3 + A4                                        k=1，管轄區域2

C5（0101） = A5                                                                 k=0，管轄區域1

C6（0110） = A5 + A6                                                         k=1，管轄區域2

C7（0111） = A7                                                                  k=0，管轄區域1

C8 （1000）= A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8      k=3，管轄區域8

求和：

step1:　令sum = 0，轉第二步；

step2:　假如n <= 0，演算法結束，返回sum值，否則sum = sum + Cn，轉第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，轉第二步。

lowbit操作：求二進位制末尾的1的位置，與自身負數進行與操作

//求二進位制末尾的1的位置
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

update操作：

//更新第k位置+x，如果是減就傳入-x
void update(int k,int x)
{
    //修改所有管轄到k的位置，直到大於所有的個數
	while(k<=n)
	{
		tree[k]+=x;
        //尋找下一個位置
		k+=lowbit(k);
	}
}

Query操作：這裡是求和

//其實是update的逆操作
int query(int k)
{
	int res=0;
	while(k)
	{
		res+=tree[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return res;
}

例題：HDU1166

敵兵佈陣

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 128070    Accepted Submission(s): 53664
 

Problem Description

C國的死對頭A國這段時間正在進行軍事演習，所以C國間諜頭子Derek和他手下Tidy又開始忙乎了。A國在海岸線沿直線佈置了N個工兵營地,Derek和Tidy的任務就是要監視這些工兵營地的活動情況。由於採取了某種先進的監測手段，所以每個工兵營地的人數C國都掌握的一清二楚,每個工兵營地的人數都有可能發生變動，可能增加或減少若干人手,但這些都逃不過C國的監視。
中央情報局要研究敵人究竟演習什麼戰術,所以Tidy要隨時向Derek彙報某一段連續的工兵營地一共有多少人,例如Derek問:“Tidy,馬上彙報第3個營地到第10個營地共有多少人!”Tidy就要馬上開始計算這一段的總人數並彙報。但敵兵營地的人數經常變動，而Derek每次詢問的段都不一樣，所以Tidy不得不每次都一個一個營地的去數，很快就精疲力盡了，Derek對Tidy的計算速度越來越不滿:"你個死肥仔，算得這麼慢，我炒你魷魚!”Tidy想：“你自己來算算看，這可真是一項累人的工作!我恨不得你炒我魷魚呢!”無奈之下，Tidy只好打電話向計算機專家Windbreaker求救,Windbreaker說：“死肥仔，叫你平時做多點acm題和看多點演算法書，現在嚐到苦果了吧!”Tidy說："我知錯了。。。"但Windbreaker已經掛掉電話了。Tidy很苦惱，這麼算他真的會崩潰的，聰明的讀者，你能寫個程式幫他完成這項工作嗎？不過如果你的程式效率不夠高的話，Tidy還是會受到Derek的責罵的.

Input

第一行一個整數T，表示有T組資料。
每組資料第一行一個正整數N（N<=50000）,表示敵人有N個工兵營地，接下來有N個正整數,第i個正整數ai代表第i個工兵營地裡開始時有ai個人（1<=ai<=50）。
接下來每行有一條命令，命令有4種形式：
(1) Add i j,i和j為正整數,表示第i個營地增加j個人（j不超過30）
(2)Sub i j ,i和j為正整數,表示第i個營地減少j個人（j不超過30）;
(3)Query i j ,i和j為正整數,i<=j，表示詢問第i到第j個營地的總人數;
(4)End 表示結束，這條命令在每組資料最後出現;
每組資料最多有40000條命令

Output

對第i組資料,首先輸出“Case i:”和回車,
對於每個Query詢問，輸出一個整數並回車,表示詢問的段中的總人數,這個數保持在int以內。

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End 

Sample Output

Case 1:
6
33
59

Source

題意：很顯然，直接暴力會超時，這個用線段樹也可以，這裡用樹狀陣列來實現。

程式碼：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

int tree[50005];
int T,n,x,y;
string s;

int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

//更新
void update(int k,int x)
{
	while(k<=n)
	{
		tree[k]+=x;
		k+=lowbit(k);
	}
}

//求和
int query(int k)
{
	int res=0;
	while(k)
	{
		res+=tree[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for (int cnt=1;cnt<=T;cnt++)
	{
		printf("Case %d:\n",cnt);
		scanf("%d",&n);
		memset(tree,0,sizeof(tree));
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			update(i,x);
		}
		while(cin >> s && s!="End")
		{
			if (s=="Query")
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				printf("%d\n",query(y)-query(x-1));
			}
			else if (s=="Add")
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				update(x,y);
			}
			else
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				update(x,-y);
			}				
		}
	}
	return 0;
}