1/X+1/Y=1/N!的兩種O(n)做法
阿新 • • 發佈:2019-02-02
題目大意:
求1/X+1/Y=1/N!的答案對數。
解題思路1:
設 m=n! ,由等式知x,y必定大於n!,所以再設 x=n!+k=m+k 帶入 1/m=1/x+1/y 中化簡得到y=m*m/k+m,因y為整數,所以要求k整除m*m,即k為m*m的因子,問題便轉化為求n!*n!的因子個數, 設n!=p1^e1 * p2^e2 * p3^e3 *...*pk^ek,則 n!*n!= p1^(2*e1) * p2^(2*e2) *...*pk^(2*ek)
。 則因子個數sum=(2*e1+1)*(2*e2+1)*...*(2*ek+1)。
對於每個質數p,它的出現次數等於[N/p]+[N/p^2]+...,這樣對於每個p是O(log_p(N))的,而1~N之間的質數有O(N/lnN)個,均攤一下就是O(n)的。
至於怎麼算每個質數p出現的次數,p的次數等於[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+....這個可以看成是把1~n裡p的倍數的數字都除掉一個p,這樣的數有[n/p]個,除完之後這[n/p]個數會變成1~[n/p],然後再除掉一個p,就是[[n/p]/p]個,然後變成1~[n/p^2],一直做下去。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<queue> #include<map> #include<vector> #include<set> #include<ctime> #define LL long long #define db double #define EPS 1e-15 #define inf 1e16 #define pa pair<int,int> using namespace std; LL read() { LL x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int n,cnt=0; bool f[1000010]; int pri[1000010],num[1000010]; void pre(){ memset(f,1,sizeof(f)); int j; for (int i=2;i<=1000000;i++) { if (f[i]) { j=i; cnt++; pri[cnt]=i; while (j+i<=1000010) { j+=i; f[j]=0; } } } } int main(){ pre(); while (1){ scanf("%d",&n); if (n==0) break; for (int i=0;i<=1000000;i++) num[i]=0; for (int i=1;i<=cnt && pri[i]<=n;i++){ int tmp=n; while (true){ if(tmp==0 || pri[i]>n) break; num[i]+=tmp/pri[i]; tmp/=pri[i]; } } LL ans=1; for (int i=1;i<=cnt && pri[i]<=n;i++) if (num[i]>=1) ans*=(2*num[i]+1); ans=(ans-1)/2+1; printf("%lld\n",ans); } }
解題思路2:
待補。