PCA （主成分分析）詳解 （寫給初學者） 結合matlab

一、簡介 

       PCA（Principal Components Analysis）即主成分分析，是影象處理中經常用到的降維方法，大家知道，我們在處理有關數字影象處理方面的問題時，比如經常用的影象的查詢問題，在一個幾萬或者幾百萬甚至更大的資料庫中查詢一幅相近的影象。這時，我們通常的方法是對影象庫中的圖片提取響應的特徵，如顏色，紋理，sift，surf，vlad等等特徵，然後將其儲存，建立響應的資料索引，然後對要查詢的影象提取相應的特徵，與資料庫中的影象特徵對比，找出與之最近的圖片。這裡，如果我們為了提高查詢的準確率，通常會提取一些較為複雜的特徵，如sift，surf等，一幅影象有很多個這種特徵點，每個特徵點又有一個相應的描述該特徵點的128維的向量，設想如果一幅影象有300個這種特徵點，那麼該幅影象就有300*vector（128維）個，如果我們資料庫中有一百萬張圖片，這個儲存量是相當大的，建立索引也很耗時，如果我們對每個向量進行PCA處理，將其降維為64維，是不是很節約儲存空間啊？對於學習影象處理的人來說，都知道PCA是降維的，但是，很多人不知道具體的原理，為此，我寫這篇文章，來詳細闡述一下PCA及其具體計算過程：

二、PCA詳解

1、原始資料：

為了方便，我們假定資料是二維的，藉助網路上的一組資料，如下：

x=[2.5, 0.5, 2.2, 1.9, 3.1, 2.3, 2, 1, 1.5, 1.1]^T
y=[2.4, 0.7, 2.9, 2.2, 3.0, 2.7, 1.6, 1.1, 1.6, 0.9]^T

2、計算協方差矩陣

什麼是協方差矩陣？相信看這篇文章的人都學過數理統計，一些基本的常識都知道，但是，也許你很長時間不看了，都忘差不多了，為了方便大家更好的理解，這裡先簡單的回顧一下數理統計的相關知識，當然如果你知道協方差矩陣的求法你可以跳過這裡。

（1）協方差矩陣：

首先我們給你一個含有n個樣本的集合，依次給出數理統計中的一些相關概念：

均值：
標準差：
方差：

既然我們都有這麼多描述資料之間關係的統計量，為什麼我們還要用協方差呢？我們應該注意到，標準差和方差一般是用來描述一維資料的，但現實生活我們常常遇到含有多維資料的資料集，最簡單的大家上學時免不了要統計多個學科的考試成績。面對這樣的資料集，我們當然可以按照每一維獨立的計算其方差，但是通常我們還想了解這幾科成績之間的關係，這時，我們就要用協方差，協方差就是一種用來度量兩個隨機變數關係的統計量，其定義為：

從協方差的定義上我們也可以看出一些顯而易見的性質，如：

(X的方差)

需要注意的是，協方差也只能處理二維問題，那維數多了自然就需要計算多個協方差，比如n維的資料集就需要計算

這個定義還是很容易理解的，我們可以舉一個簡單的三維的例子，假設資料集有三個維度，則協方差矩陣為

可見，協方差矩陣是一個對稱的矩陣，而且對角線是各個維度上的方差。

（2）協方差矩陣的求法：

協方差矩陣計算的是不同維度之間的協方差，而不是不同樣本之間的。下面我們將在matlab中用一個例子進行詳細說明：

首先，隨機產生一個10*3維的整數矩陣作為樣本集，10為樣本的個數，3為樣本的維數。
MySample = fix(rand(10,3)*50)

根據公式，計算協方差需要計算均值，那是按行計算均值還是按列呢，我一開始就老是困擾這個問題。前面我們也特別強調了，協方差矩陣是計算不同維度間的協方差，要時刻牢記這一點。樣本矩陣的每行是一個樣本，每列為一個維度，所以我們要按列計算均值。為了描述方便，我們先將三個維度的資料分別賦值：

dim1 = MySample(:,1);
dim2 = MySample(:,2);
dim3 = MySample(:,3);

計算dim1與dim2，dim1與dim3，dim2與dim3的協方差：

sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  74.5333
sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -10.0889
sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -10***000

搞清楚了這個後面就容易多了，協方差矩陣的對角線就是各個維度上的方差，下面我們依次計算：

std(dim1)^2 % 得到   108.3222
std(dim2)^2 % 得到   260.6222
std(dim3)^2 % 得到  94.1778

這樣，我們就得到了計算協方差矩陣所需要的所有資料，呼叫Matlab自帶的cov函式進行驗證：

cov(MySample)

可以看到跟我們計算的結果是一樣的，說明我們的計算是正確的。但是通常我們不用這種方法，而是用下面簡化的方法進行計算：

先讓樣本矩陣中心化，即每一維度減去該維度的均值，然後直接用新的到的樣本矩陣乘上它的轉置，然後除以(N-1)即可。其實這種方法也是由前面的公式通道而來，只不過理解起來不是很直觀而已。大家可以自己寫個小的矩陣看一下就明白了。其Matlab程式碼實現如下：

X = MySample – repmat(mean(MySample),10,1);    % 中心化樣本矩陣
C = (X’*X)./(size(X,1)-1)

（為方便對matlab不太明白的人，小小說明一下各個函式，同樣，對matlab有一定基礎的人直接跳過：

B = repmat(A,m,n ) %%將矩陣 A 複製 m×n 塊，即把 A 作為 B 的元素，B 由 m×n 個 A 平鋪而成。B 的維數是 [size(A,1)*m, (size(A,2)*n] 

如果你有這樣一個矩陣：A = [1 2 3; 3 3 6; 4 6 8; 4 7 7];
用mean(A)（預設dim=1）就會求每一列的均值
ans =
    3.0000    4.5000    6.0000
用mean(A,2)就會求每一行的均值 
ans =
    2.0000
    4.0000
    6.0000

   6.0000

size(A,n)%% 如果在size函式的輸入引數中再新增一項n，並用1或2為n賦值，則 size將返回矩陣的行數或列數。其中r=size(A,1)該語句返回的是矩陣A的行數， c=size(A,2) 該語句返回的是矩陣A的列數）

上面我們簡單說了一下協方差矩陣及其求法，言歸正傳，我們用上面簡化求法，求出樣本的協方差矩陣為：

3、計算協方差矩陣的特徵向量和特徵值

因為協方差矩陣為方陣，我們可以計算它的特徵向量和特徵值，如下：

[eigenvectors,eigenvalues] = eig(cov)

我們可以看到這些向量都是單位向量，也就是它們的長度為1，這對PCA來說是很重要的。

4、選擇成分組成模式向量

求出協方差矩陣的特徵值及特徵向量之後，按照特徵值由大到小進行排列，這將給出成分的重要性級別。現在，如果你喜歡，可以忽略那些重要性很小的成分，當然這會丟失一些資訊，但是如果對應的特徵值很小，你不會丟失很多資訊。如果你已經忽略了一些成分，那麼最後的資料集將有更少的維數，精確地說，如果你的原始資料是n維的，你選擇了前p個主要成分，那麼你現在的資料將僅有p維。現在我們要做的是組成一個模式向量，這只是幾個向量組成的矩陣的一個有意思的名字而已，它由你保持的所有特徵向量構成，每一個特徵向量是這個矩陣的一列。

對於我們的資料集，因為有兩個特徵向量，因此我們有兩個選擇。我們可以用兩個特徵向量組成模式向量：

我們也可以忽略其中較小特徵值的一個特徵向量，從而得到如下模式向量：

5、得到降維後的資料

其中rowFeatureVector是由模式向量作為列組成的矩陣的轉置，因此它的行就是原來的模式向量，而且對應最大特徵值的特徵向量在該矩陣的最上一行。rowdataAdjust是每一維資料減去均值後，所組成矩陣的轉置，即資料專案在每一列中，每一行是一維，對我們的樣本來說即是，第一行為x維上資料，第二行為y維上的資料。FinalData是最後得到的資料，資料專案在它的列中，維數沿著行。

這將給我們什麼結果呢？這將僅僅給出我們選擇的資料。我們的原始資料有兩個軸（x和y），所以我們的原始資料按這兩個軸分佈。我們可以按任何兩個我們喜歡的軸表示我們的資料。如果這些軸是正交的，這種表達將是最有效的，這就是特徵向量總是正交的重要性。我們已經將我們的資料從原來的xy軸表達變換為現在的單個特徵矢量表達。

（說明：如果要恢復原始資料，只需逆過程計算即可，即：

）

到此為止，相信你已經掌握了PCA及其原理了。

轉自

http://hi.baidu.com/ifengzh/item/8851b6387aebefc4382ffa60