UVa10003 - Cutting Sticks
題目連結

簡介：
給出一個長度為L的木棍，以及n個切割點
要求切割成n+1段，每切一次花費都是原始的木棍長度
求最小花費

分析：
實際上我們可以看做是n+1個物品
這和能量項鍊是一樣的：
設計狀態：f[i][j]表示切割編號為(i~j)的木棍的花費

f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1]}

a[i]是前i段木棍的字首和，實際上就是分割點
唯一需要注意就是現在有n+1個物品了

這樣的複雜度是O(n^3)

#include<cstdio>
#include<cstring>
 

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=55;
int pre[N],nxt[N];
int a[N],n,L;
int f[N][N];

int main()
{
    while (scanf("%d",&L)!=EOF&&L)
    {
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        a[n+1]=L;
        int i,j,k;

        memset
 
(f,0x33,sizeof(f));
        for (i=1;i<=n+1;i++) f[i][i]=0;
        for (i=n;i>=1;i--)
            for (j=i+1;j<=n+1;j++)
                for (k=i;k<j;k++)
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1]);

        printf("The minimum cutting is ");
        printf("%d.\n"
 
,f[1][n+1]);
    }
    return 0;
}

很簡單的題對吧，我為什麼要做這麼簡單的題呢？
閒的
實際上，我們可以把複雜度降為O(n^2)
這就需要一個新知識了（上面只是引入）

四邊形不等式

在動態規劃中，經常遇到如下的狀態轉移方程：

d[i,j]=min{d[i,k]+d[k+1,j]}+w[i,j]

其中i < k < j，w[i,j]是區間(i,j)的額外代價，時間複雜度為O(n^3)
這種情況下，我們通常可以考慮用四邊形不等式優化

首先我們需要明確一些概念

對於一個權函式w(i,j)，如果ta滿足w(x,i+1)-w(x+1,i)隨x單調不增，亦即w(x,i+1)+w(x+1,i)>=w(x,i)+w(x+1,i+1)，則稱這個權函式滿足凸完全單調性

易證明，當k>0時，w(x,i+k)-w(x,i)隨x單調不增，w(i+k,x)-w(i,x)隨x單調不增，

則對任意a<=b<=c<=d，有w(a,c)+w(b,d)<=w(a,d)+w(b,c)。

稱此式為四邊形不等式

（可以形象理解為兩個交錯區間的w的和不超過小區間與大區間的w的和）

通過四邊形不等式也可推出凸完全單調性，所以這兩種說法不嚴格來說是等價的

在一類要求將一段序列劃分成若干子段，從i到j的一段費用為w(i,j)，要求出所有子段代價之和最小劃分方案的動態規劃中，通常可以見到這樣的狀態轉移方程：
d(i)=min{d(j)+w(j+1,i) | j < i}

設t(i,x)=d(i)+w(i+1,x) ,如果對於某個x，t(i,x)>=t(j,x) (i < j)
則對於任何y>x都有t(i,y)>=t(j,y)
此式說明，對於i < j，一旦某個時刻決策i沒有決策j好，以後決策i也不會比決策j好。
這說明，f(x)的決策時隨x單調不降的，這就是決策單調性

或許大家已經發現了，決策單調性的dp一個經典優化就是：斜率優化

如果函式w滿足：w(i,j)<=w(i’,j’) ([i,j]屬於[i’,j’])
則說w關於區間包含關係單調
（可以形象理解為如果小區間包含於大區間中，那麼小區間的w值不超過大區間的w值）

有了上面的知識鋪墊，我們現在提出一些重要的定理：

定理一：如果上述的w函式同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼函式d也滿足四邊形不等式性質。

我們再定義s(i,j)表示d(i,j)取得最優值時對應的下標（即i≤k≤j時，k處的w值最大，則s(i,j)=k）。此時有如下定理

定理二：假如d(i,j)滿足四邊形不等式，那麼s(i,j)單調，s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)

那麼我們怎麼判斷w是否符合四邊形不等式呢？

定理三： w為凸當且僅當w(i,j)+w(i+1,j+1)<=w(i,j+1)+w(i+1,j)

這個定理說明了驗證w是否為凸的方法：
固定j算出w(i,j+1)-w(i,j)關於i的表示式，若i單調遞減，那麼w為凸
固定i算出w(i+1,j)-w(i,j)關於j的表示式，若j單調遞減，那麼w為凸

我們發現如果w函式滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)

原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：

d(i,j)=min{d(i,k)+d(k+1,j)}+w(i,j) (s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）

由於這個狀態轉移方程列舉的是區間長度L=j-i，
而s(i,j-1)和s(i+1,j)的長度為L-1，是之間已經計算過的，可以直接呼叫。
不僅如此，區間的長度最多有n個，對於固定的長度L，不同的狀態也有n個，故時間複雜度為O(N^2)，而原來的時間複雜度為O(N^3)，實現了優化

tip

說句實話，在dp的程式碼實現上，我們只是加了一個數組s（區間最優解的位置）
每次迴圈的時候，只迴圈s[i,j-1]~s[i+1,j]

下面給出一開始引入問題的優化程式碼

//這裡寫程式碼片
#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N=55; 
int s[N][N],f[N][N],a[N],n,L;

int main()
{
    while (scanf("%d",&L)!=EOF&&L)
    {
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        a[n+1]=L;
        n++;

        int i,j,k;
        memset(f,0x33,sizeof(f));
        for (i=1;i<=n;i++) 
            f[i][i]=0,s[i][i+1]=i;
        for (i=1;i<=n;i++)
            f[i][i+1]=a[i+1]-a[i-1];

        for (i=n-2;i>=1;i--)
            for (j=i+1;j<=n;j++)
                for (k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
                if (f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1])
                {
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1];
                    s[i][j]=k;
                }

        printf("The minimum cutting is ");
        printf("%d.\n",f[1][n]);
    }
    return 0;
}