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【MOOC】數字訊號處理-電子科技大學-第二週

2.1連續時間訊號的取樣

Concepts of sampling

取樣(sampling):指把時間域或空間域的連續量轉化成離散量的過程。

取樣流程

實際的連續時間訊號的數字化處理過程:
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將上述過程的一些部分理想化後,可得 理想的連續時間訊號的數字化處理過程:
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如何取樣

簡單來說,取樣就是通過一定的“節拍”,有規律地取連續訊號的一些離散的點的過程。下圖所示的是 用Ts的取樣間隔來對連續時間訊號x(t)進行取樣得到離散時間訊號x[n]的過程。
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更為專業地描述為:
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注:在實際電路中,可通過 使用電流脈衝δ(t)對電容器充電 來使得這裡寫圖片描述轉換為這裡寫圖片描述

在數學上,則可這樣描述:
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而若使用不同的取樣間隔,得到的離散時間訊號也是不同的:
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可以看到,取樣點較為密集的可更準確地反映原訊號的“分佈”規律。那麼,自然就有一個問題,如何選取取樣頻率呢?在回答這個問題之前,我們得先分析一下采樣之後,訊號在頻域上的變化。

Effect of frequency domain

由《訊號與系統》的知識可以知道:訊號在時域為離散的,則在頻域為連續週期的;在時域的乘積等價於頻域的卷積。
那麼,則有:
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當取樣角頻率大於等於兩倍的原型號的角頻率時:
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可看到,在頻域上,取樣得到的訊號是原訊號的“週期化”,訊號沒有發生重疊現象。

而當取樣角頻率小於兩倍的原型號的角頻率時:
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可看到,訊號發生了重疊的現象。下面引入奈奎斯特定理來解決該問題。

Sampling (Nyquist) theory

要使得采樣後的訊號沒有出現重疊現象,取樣角頻率需滿足:
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這也是為什麼在剛開始介紹的取樣流程時,在實際取樣之前,需先讓訊號通過一個抗混疊濾波器的原因,該濾波器的最高角頻率被約束在了這裡寫圖片描述,從而保證了取樣時訊號不會發生混疊現象。
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Frequency Terms

這裡給出常用的一些符號的說明。當對某些符號的意思不明白時可來查詢該表。

符號 名稱 單位
f frequency(頻率) Hz, cycles/sec
Ω (= 2πf) angular frequency(角頻率) rad./sec
Fs sampling frequency(取樣頻率) Hz, sample/sec
Ts (= 1/Fs) sampling interval(取樣間隔) Sec., sec./sample
ω (= ΩTs) (normalized)digital angular frequency(數字化角頻率) rad./sample

Example

考慮一個3HZ的訊號:這裡寫圖片描述

對其進行取樣,取樣頻率Fs = 10 Hz(即Ts = 0.1s),可得:這裡寫圖片描述

兩者在時域的影象為:
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在頻域的影象為:
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測驗題

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注:第二題中,取樣頻率f要滿足:f>x(t)訊號的最大頻率的2倍

課堂討論題

訊號從連續變為離散的現象是如何產生和實現的?
討論要求:
(1)訊號從連續變為離散時域是如何實現的?請用表示式進行說明。
(2)訊號從連續變為離散頻域會發生什麼變化?請推導這種變化產生的原因。
(3)根據第(2)中得出的結論,說明取樣頻率的選取原則。
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2.2離散時間訊號

Basic discrete signals

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Basic operations

Elementary Operations

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Combination of Elementary Operations

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測驗題

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2.3連續時間訊號的恢復

訊號可恢復的條件:滿足奎奈斯特定理

訊號取樣與恢復的流程大致如下:

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原訊號被取樣後送至低通濾波器,得到恢復的訊號。

這裡需要關注的就是:低通濾波器所起的作用:取樣得到的離散訊號在頻域上是連續週期的,使用低通濾波器就可得到一個週期內訊號在頻域的取值,根據單個週期的頻域值利用 傅立葉反變換 就可得到原來的連續訊號。(需仔細理解該圖中箭頭的含義)

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對於低通濾波器對應的系統函式,可得到其在時域上的表示式為:

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這就是有名的 抽樣函式

時域和頻域的影象如下:

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從圖中可以看到,對於hr(t),對於t=n*Ts,當且僅當n=0,即t=0時,hr(t)才為1,當n取其他值時,hr(t)=0。對應下面的公式,當t=n*Ts時t-n*Ts才為0,即是說在當前取樣點上的值為1,在其他取樣帶點上的值為0。(實際上,這類訊號也被稱為 內插訊號,因此 訊號恢復過程即是內插過程

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訊號恢復的示意過程:

當n=0:

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當n=-1、0、1:

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當n=-2、-1、0、1、2:

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當n的範圍增大

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再增大

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可以看到,對於n從負無窮到正無窮,內插的結果會逼近原訊號。這便是訊號恢復的過程。

下面就訊號可恢復的條件(滿足奎奈斯特定理)舉個例子。

假設有如下3個訊號:
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以 Fs = 10 Hz, 即Ts =0.1s進行取樣,得到:
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可以發現,三者取樣後得到的點的結果是一樣的。

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在頻域上可以發現,後面兩個訊號不滿足奎奈斯特定理。

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2.4 ADC中的有限字長效應

暫略