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前置知識

做這題前，您需要認識這個式子：

\[ kthmax(S)=\sum_{\varnothing\neq T\subseteq S}{|T|-1\choose k-1} (-1)^{|T|-k} min(T) \]

如果不會可以來這裏。

題解

題目要求第\(k\)小。為了方便，以下令\(k=n-k+1\)，即變為求第\(k\)大。

很顯然，這題是讓我們求這個東西：

\[ \sum_{T\neq\varnothing}{|T|-1\choose k-1} (-1)^{|T|-k} min(T) \]

然而\(n \leq 1000\) 的數據很明顯不能暴力枚舉每一個\(T\)。為了優化復雜度，我們考慮一個類似於背包的\(DP\)

設\(f_{x,j,k}\)表示前\(x\)個元素，滿足\(\sum p=j\)，以\(k\)為基準的\(\sum_T {|T|-1 \choose k-1} (-1)^{|T|-k}\)的大小。可能你會奇怪為什麽要記錄\(k\)，先往後面看。

考慮轉移。顯然要根據\(T\)中是否有\(x\)這個元素進行分類討論。

當\(T\)中沒有\(x\)，直接轉移，\(f_{x,j,k}+=f_{x-1,j,k}\)。

當\(T\)中有\(x\)時，顯然前兩維由\(f_{x-1,j-v}(v=p_x)\)轉移而來，有

\[ \begin{align*} f‘_{x,j,k}&=\sum_{x\in T} {|T|-1 \choose k-1}(-1)^{|T|-k}\&=\sum_T {|T| \choose k-1} (-1)^{|T|-k+1}//把x丟掉，轉為考慮x-1時的T，此時\sum_p = j-v\&=\sum_T [{|T|-1 \choose k-1}+{|T|-1 \choose k-2}](-1)^{|T|-k+1}\&=\sum_T {|T|-1 \choose k-1}(-1)^{|T|-k}(-1)+\sum_T {|T|-1 \choose (k-1)-1} (-1)^{|T|-(k-1)}\&=f_{x-1,j-v,k-1}-f_{x-1,j-v,k} \end{align*} \]

最終我們得到轉移方程：

\[ f_{x,j,k}=f_{x-1,j,k}+f_{x-1,j-v,k-1}-f_{x-1,j-v,k} \]

邊界條件為\(f_{x,0,0}=1\)。

發現這東西時空復雜度都是\(O(nm(n-k))\)，似乎要炸空間，所以還需要把第一維滾掉。

最後統計答案時枚舉\(\sum p\)然後隨便搞搞就好啦。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define sz 10010
    #define mod 998244353
    typedef long long ll;
    template<typename T>
    inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();
        double d=0.1;
        while(ch>‘9‘||ch<‘0‘) f|=(ch==‘-‘),ch=getchar();
        while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘) t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch==‘.‘)
        {
            ch=getchar();
            while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘) t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
        }
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>
    inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.txt","r",stdin);
        #endif
    }
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

ll ksm(ll x,int y)
{
    ll ret=1;
    for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;
    return ret;
}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}

int n,m,K;
int p[sz];
ll dp[2][sz][15];

int main()
{
    file();
    read(n,K,m);K=n-K+1;
    rep(i,1,n) read(p[i]);
    int c=0,cc=1;
    dp[0][0][0]=1;
    rep(i,1,n)
    {
        swap(c,cc);
        rep(j,0,m) rep(k,0,K) dp[c][j][k]=0;
        dp[c][0][0]=1;
        rep(j,1,p[i]-1) rep(k,1,K) dp[c][j][k]=dp[cc][j][k];
        rep(j,p[i],m) 
            rep(k,1,K) 
                dp[c][j][k]=(dp[cc][j][k]+dp[cc][j-p[i]][k-1]-dp[cc][j-p[i]][k]+mod)%mod;
    }
    ll ans=0;
    rep(i,1,m) ans=(ans+dp[c][i][K]*inv(i)%mod*m%mod)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}
 

洛谷P4707 重返現世 [DP，min-max容斥]