14.3-1 寫出作用於區間樹的結點且在 O(1) 時間內更新 max 屬性的過程 LEFT-ROTATE 的虛擬碼。

ANSWER：

虛擬碼：
LEFT-ROTATE(T, x)
    y = x.right
    y.max = x.max
    x.max = max(x.left.max, y.left.max, x.int.high)</span></span>

14.3-2 改寫 INTERVAL-SEARCH 的程式碼，使得當所有區間都是開區間是，它也能正確地工作。

ANSWER：將第 3 行的 x.left.max ≥ i.low 改為 x.left.max ＞ i.low。

14.3-3 請給出一個有效的演算法，對一個給定的區間 i，返回一個與 i 重疊且具有最小低端點的區間；或者當這樣的區間不存在時返回 T.nil。

ANSWER：

虛擬碼：
MIN-SEARCH(T, i)
    x = T.root
    res = T.nil
    mark = INT_MAX
    while x != T.nil
        if i overlap x.int
            if x.int.low < mark
                mark = x.low
                res = x
        if x.left != T.nil and x.left.max ≥ i.low
            x = x.left
        else
            x = x.right
    return res</span>
 

ANSWER：類似於前序遍歷，但時間仍為 O(min(n，klgn))。

虛擬碼：
SEARCH-ALL(T.root, i)
    x = T.root
    if i overlap x.int
        print x
    if x.left != T.nil and x.left.max ≥ i.max
        SEARCH-ALL(x.left, i)
    if x.right != T.nil and x.right.int.low ≤ i.high and x.right.max ≥ i.low
        SEARCH-ALL(x.right, i)</span>
 

ANSWER：直接按照 i.low 搜尋二叉樹，然後判斷 x.int.high 是否等於 i.high 即可。

14.3-6 說明如何來維護一個支援操作 MIN-GAP 的一些數的動態集 Q，使得該操作能給出 Q 中兩個最接近的數之間的差值。例如，Q = {1, 5, 9, 15, 18, 22}，則 MIN-GAP 返回 18 -15 = 3，因為 15 和 18 是 Q 中兩個最接近的數。要使得操作 INSERT、DELETE、SEARCH 和 MIN-GAP 儘可能高效，並分析它們的執行時間。

ANSWER：給紅黑樹的每個結點新增 min、max、mingap 屬性。

x.min（以 x 為根的樹中最小的關鍵字。）：插入時，只需更新插入的結點至根結點路徑上 O(lgn) 個結點。更新結點操作 x.min = min(x.left.min, x.key) 只需 O(1) 時間，所以插入操作對更新 min 屬性也是 O(lgn) 時間。刪除同理。

x.max（以 x 為根的樹中最大的關鍵字。）：插入、刪除和 x.min 類似。x.max = max(x.right.max, x.key)。

x.mingap（以 x 為根的樹的 MIN-GAP）：插入、刪除依然是 O(lgn) 時間更新 mingap 屬性，x.mingap = min(x.left.mingap, x.right.mingap, x.key - x.left.max, x.right.min - x.key)。

綜上，INSERT、DELETE、SEARCH 時間為 O(lgn)，MIN-GAP 時間為 O(1)。