題目概述

有六種操作，分別是複製（copy）、替換（replace）、刪除（delete）、插入（insert）、交換（twiddle）、消滅（kill）。
將這六種操作任意組合（可以重複或者沒有）得到一個操作序列。
操作序列的輸入是一個字串，操作的輸出是另一個字串。
例如字串algorithm，經過以下操作序列，得到字串altruistic。

一個字串src，變成另一個字串dst，可以很多種方法。
題目要求對於給定的src和dst，找到一種最優的操作序列，包含最少的操作個數，使src變成dst。輸出這個操作序列。操作序列中操作的個數就是src到dst的編輯距離。

下面具體解釋這六種操作的內容即i和j的含義：
i是src的下標，j是dst的下標。操作開始前，i = j = 0。
令x為任意的字元
copy: dst[j] = src[i], i++, j++
replace: dst[j] = x, i++, j++
delete: i++
insert: dst[j] = x, j++
twiddle: dst[j] = src[i+1], dst[j+1] = src[i], i += 2, j += 2
kill: 消滅src中剩下的字元。如果執行這個操作，則它必是最的操作。

思考

對於DP問題，首先要想清楚的是初始化過遞推。題目中i和j的遞增給了很好的提示。
定義c[i,j]為src的子串src[0,i]變化為dst的子串dst[0,j]的過程的編輯距離。
那麼c[src.length(), dst.length()]即src到dst的編輯距離。
這裡只是希望操作的個數最少，在操作個數相同的情況下，用什麼操作是沒有差別的，即每個操作的代價是一樣的，即cost(operation) = 1

（1）初始化

c[0,0]=0
c[i,0] = i * cost(delete)
c[0,j] = j * cost(insert)

（2）遞推

令c[i, j] = a，根據每個operation的規則，有以下推理

copy: dst[j] = src[i], i++, j++ ==> c[i+1, j+1] = a + cost(copy)
replace: dst[j] = x, i++, j++  ==> c[i+1, j+1] = a + cost(replace)
delete: i++ ==>  c[i+1, j] = a + cost(delete) 
insert: dst[j] = x, j++  ==> c[i, j+1] = a + cost(insert)
twiddle: dst[j] = src[i+1], dst[j+1] = src[i], i += 2, j += 2  ==> c[i+2, j+2] = a + cost(twiddle)
 

kill: 消滅src中剩下的字元。如果執行這個操作，則它必是最的操作。

（3）反推

以上推理是基於現在的結果預測後面的結果。
然後現在的結果並不能決定後面的結果，但現在的結果一定來自於前面的結果。
因此要轉換思考方向，將遞推進行反推，這一步是DP的難點。

（4）最後的操作kill

c[i][j] = MIN(c[m,n], MIN(c[i,n]+cost(kill)))， 其中0<=i

程式碼

原始碼

DNA對齊問題

DNA對齊問題可以看作是帶權值的編輯距離問題。
在編輯距離問題中，所有的操作都看作是一樣，即cost(operation) = 1
現在把其中一操作加上權值，求最小值改成求最大值，就是DNA對齊問題了。

copy : 1
replace : -1
insert : -2
delete ： 去掉
twiddle : 去掉
kill ： 去掉

原題