011-最長公共子序列-動態規劃-《演算法設計技巧與分析》M.H.A學習筆記
阿新 • • 發佈:2019-02-05
給出兩個長度分別為n和m的字串A和B,確定A和B中最長公共子序列的長度。
樸素演算法:列舉A中所有的子序列2n個,並逐個判斷其是否在B中(Θ(m)耗費)。時間複雜度為Θ(m2n)。
利用動態規劃可以在Θ(nm)的時間和Θ(min{m,n})的空間內解決最長公共子序列問題。
基本思路:
對於字串A=a1a2...an,B=b1b2...bm,令L[i,j]表示a1a2...ai和b1b2...bj的最長公共子序列的長度。
初始條件:如果i=0或j=0,L[i,j]=0。
狀態轉移:
我們可以得出下面的結論:
虛擬碼:
C++程式碼:
#include<iostream> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; int dp[1010][1010]; int main() { string a, b; while (cin >> a >> b) { memset(dp, 0, sizeof(dp)); int lena = a.length(); int lenb = b.length(); for (int i = 0; i < lena; i++) for (int j = 0; j < lenb; j++) { if (a[i] == b[j]) dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1; else dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]); } cout << dp[lena][lenb] << endl; } }
C++程式碼(列印路徑):
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; #define N 10 int dp[N][N]; int path[N]; int main() { char a[N]; char b[N]; freopen("lcsInput.txt","r",stdin); freopen("lcsOutput.txt","w",stdout); scanf("%s%s",a,b); int la=strlen(a); int lb=strlen(b); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=la;i++) { for(int j=1;j<=lb;j++) { if(a[i-1]==b[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } } int i=la,j=lb,k=0; while(dp[i][j]) { if(dp[i][j]==dp[i-1][j]) i--; else if(dp[i][j]==dp[i][j-1]) j--; else { path[k++]=i-1; i--;j--; } } printf("%s\n%s\n",a,b); printf("最長公共子序列長度=%d\n",dp[la][lb]); for(int i=k-1;i>=0;i--) printf("%c",a[path[i]]); printf("\n"); return 0; }
演算法分析:
演算法的過程就是不斷填充一個n*m的表格,時間複雜度就是表格的大小Θ(nm),空間也可以控制在Θ(min{n,m})內。