簡介

主題：採用圖割方法解決視覺問題中常見的能量最小化問題
主要參考文獻：Fast Approximate Energy Minimization via Graph Cuts， Cornell University, Boykov, Veksler, Zabih, IEEE PAMI 23(11), pp 1222ff, 2001
在諸多視覺影象問題中，研究人員最後都能將其歸結為最小化一個能量函式的問題，很多文獻中都引用這篇文章：Fast Approximate Energy Minimization via Graph Cuts，該文章在 google scholar 上顯示截至目前引用超過5k+。該文章中介紹了兩種採用圖割來解決能量最小化問題的演算法： α

-expansion and α-β swap algorithms。
下面本文通過拜讀並翻譯原文，加上個人理解試著弄清楚這兩個演算法的來龍去脈，如有錯誤敬請指出。

計算機視覺中的能量最小化問題描述

在計算機視覺領域中，我們經常需要估計一些在空間（畫素平面）上變化的量，例如影象灰度、視差大小等。這些量都有著共同的特徵：分塊平滑（piecewise smoothness）。分塊平滑意味著兩個方面：這些量在塊的內部變化平滑，在塊與塊之間（物體邊界）變化很大。對每一個畫素點 p∈P 我們都需要給定一個標籤（label）fp∈L，也就是將每個畫素對映到標籤集中的某個標籤上，這裡標籤函式（對映） f

不僅需要滿足分塊平滑的特點而且需要和觀測到的資料一致。
基於以上想法，這些視覺問題就可以表達成以下尋找標籤函式 f 以求能量最小化的形式：

E(f)=Esmooth(f)+Edata(f),
在這裡 Esmooth(f) 表達的是 f 分塊不平滑的程度，Edata(f) 表達的是標籤函式 f 與觀測到資料的不一致性。Edata(f) 的一般形式是：
Edata(f)=∑p∈PDp(fp),
其中 Dp 來度量標籤與觀測資料的一致性，例如在影象恢復中 Dp(fp)=(fp−ip)2 ，其中 ip 表示在畫素點 p 處的灰度值，在這裡 Edata(f) 並不是重點。
平滑項 Esmo

oth 才是關鍵所在。為了在邊界處得到較好的效果，我們選擇一種“非連續性保留”(discontinuity-preserving) 函式（參考分塊平滑兩項性質）。
由於能量最小化是非凸優化問題，具有很多區域性極小值，並且解空間有 |P| 維，因此解這種能量最小化問題最大的障礙就是巨大的搜尋空間。模擬退化法可以優化任意能量函式，但是通常計算非常緩慢。
在這篇文章中主要考慮的平滑項具有以下形式：
Esmooth=∑{p,q}∈NVp,q(fp,fq),
這裡 N 表示的是相鄰的畫素對集合。Vp,q(fp,fq) 表示畫素對 {p,q} 在標籤函式 f 下生成的標籤 (fp,fq) 之間的距離（相似度、平滑程度）。在某些特殊情況下這種能量形式是能夠精確的最優化，這裡不展開，一般來說，這個問題是 NP 難問題。
該論文中提出了兩種對任意有限大小的標籤集 L 進行近似能量最小化的演算法：α-expansion and α-β swap，分別針對兩種互作用勢（interaction potentials）：度量（metric）、半度量（semi-metric）。V 在標籤空間 L 上滿足下面兩個條件時才稱之為半度量：對任意一對標籤 α,β∈L ，都有 V(α,β)=V(β,α)≥0 和 V(α,β)=0⇔α=β. 如果 V 對任意的 α,β,γ∈L 還滿足三角不等式：
V(α,β)≤V(α,γ)+V(γ,β)
那麼我們就稱 V 是度量的。需要注意的是不論是度量還是半度量互作用勢，都包含重要的“非連續性保留”的互作用勢。這個特性在後續證明中是會用到的，也說明了兩種演算法分別適用的情況。

採用圖割來最小化能量

對所面臨的問題進行了簡單的形式化的描述後，我們下面就會採用一種圖割的方法來求解這個問題。總體思路是每一次 expansion（swap）調整一（兩）個標籤來使得能量函式下降，遍歷所有標籤（組合）直至能量函式在所有的一次 expansion（swap）調整標籤中不能下降，演算法停止，達到區域性最優。

分割和移動空間

每一個標籤對映函式 fp∈L 與影象分割方式是一一對應的關係，而 fp（後簡寫為 f） 是能量函式的自變數，因此我們可以稱所有可能的 f 的取值所組成的集合為操作空間或移動空間，用數學描述如下：
任意一種標籤方式 f 都能通過畫素的一個分割來表示： P={Pl|

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