講構建最小生成樹的演算法前，先來回顧一下什麼是生成樹，什麼是最小生成樹？生成樹是指：在一個連通圖Graph中，包含Graph中所有n個頂點的極小連通子圖，一定包含Graph中的n-1條邊（如果小於n-1條邊，生成樹會不連通。如果大於n-1條邊，就一定會產生迴路，那麼就不是樹了，樹中不能產生迴路）。且生成樹不唯一。舉個例子：

這個無向連通圖的生成樹分別有

什麼是最小生成樹？

1. 無迴路，且包含原圖中的n-1個頂點。
2. 包含原圖中的全部頂點。
3. 邊的權重和在所有其他生成樹中最小。
4. 最小生成樹存在，則該圖一定連通。反過來一樣，圖連通，則最小生成樹一定存在。

那麼如何構建滿足以上條件的生成樹？這篇日誌先介紹其中一種常用的普里姆（Prim）演算法。Prim演算法構建最小生成樹，簡單來說就是在圖中，從某一頂點出發，逐步構建，讓一棵小樹逐漸長大。用一個例子來說明更清晰點吧！首先看下面一張無向網圖：

要構造這張圖的最小生成樹，首先，假設我們從V0頂點開始出發，也就是以V0為根結點開始建樹，接著往外擴充套件，從與V0頂點相鄰的頂點中找出權值最小的頂點，可以看到是V6，所以把V6和V0連線起來。

也就是把V6收錄進了這棵最小生成樹中了。接著繼續，從當前樹中頂點的鄰接點中（也就是V0和V6的鄰接點中，找出權值最小的頂點）。可以看到是V1，所以把V1也接入最小生成樹中。

然後繼續，到V2結點，也接入最小生成樹中

因為不能形成迴路，所以V2和V6之間不能連線（雖然權值最小，等於3）。V0和V1之間也不能連線。所以只能V6和V4連線

最後V4和V5連線，V4再和V6連線，就完成了這棵最小生成樹的構建了。

(最小生成樹)

以上就是Prim演算法構建最小生成樹的過程。接下來看怎麼用程式碼實現這個演算法：

首先傳進去我們的圖MyGraph，和一個MST圖，MST圖用來存最小生成樹。然後定義 兩個一維陣列dist和parent,

· parent陣列存的是某個頂點的(下標表示)父結點parent[0]=-1表示V0為根結點。

· dist陣列用來儲存頂點Vj到VT頂點的邊的最小權值(也就是某個結點到最小生成樹MST的最小 距離),即儲存各頂點與當前樹的"距離".如果Vj屬於當前樹,則dist[j]=0;。

然後是變數TotalWeight儲存最小生成樹的權重和。Vcount儲存收錄的頂點的個數，以及一條邊E後面做構建生成樹時插入頂點用。

這些變數都定義完後，就要開始對它們進行初始化。第142行開始初始化dist陣列，預設初始點下標是0,也就是頂點V0到各個頂點的距離。初始化parent陣列，暫時定義所有頂點的父結點都是初始點0,因為V0是根節點,一開始就它一個。權重和TotalWeight和收錄的頂點個數Vcount都初始化為0。

然後初始化最小生成樹MST圖，就跟初始化一個新圖一樣，建立有Vertex個頂點但沒有邊的圖（還是用鄰接矩陣的方式）。第154行建立一個空的邊結點，後面做樹生長時插入頂點用。

初始化工作做完後，接著開始建樹了（第157行開始），首先是初始點0（假設從V0頂點開始），把V0頂點收錄進MST，因為結點V0是根結點,所以到最小生成樹的距離更新為0（即dist[0]=0）。收錄的頂點數Vcount++。parent[0]=-1是因為V0是根結點。

根結點處理好後，就要開始讓小樹生長了。我們可以用一個while迴圈，不斷找出當前最小生成樹的所有鄰接點中“距離”最近的（也就是權值最小）的頂點，找到一個就把它插入進MST裡，讓最小生成樹“生長”。那麼迴圈什麼時候結束？當然就是（第165行），當這個頂點找不到的時候就break退出while迴圈。

我們來看第163行開始，用一個FindMinDist函式找出未被收錄的結點中距離當前樹"距離"(即權值)最小的頂點賦給V。然後將V及相應的邊 <parent[V], V>收錄進MST（也就是說將頂點V和V的父結點插入到最小生成樹中）。第176行，插入完這個新頂點後，更新TotalWeight權值和。以及結點V到最小生成樹的距離更新為0（因為這個頂點已經融入到最小生成樹當中了）。Vcount++表示收錄到的頂點數加一。

   迴圈的最後一步就是掃描圖上所有頂點，找出跟V相鄰的頂點，V的鄰接點，且是沒被收錄進最小生成樹中的V的鄰接點（dist[W]!=0即沒被收錄進最小生成樹中，MyGraph->[V][W]<INFINITY即W是V鄰接點）。第185行如果收錄了V後能使得dist[W]變小，那麼就更新一下dist[W]。

最後的最後，在執行完Prim演算法的最後一步，就是判斷下最小生成樹MST中的頂點個數有沒有達到原圖中的頂點個數。如果沒有達到，證明這個圖不連通，就返回ERROR。構建成功就返回最小生成樹的權重和TotalWeight。

還有一個函式FindMinDist函式要怎麼做呢？

FindMinDist函式找出未被收錄的頂點中dist最小值(即未被收錄的頂點中距離當前最小生成樹"距離"最短的頂點)。我們把原圖MyGraph和dist陣列傳進去，定義兩個變數MinIndex和V，MinIndex儲存最小頂點的下標，初始化它為INFINITY。找未被收錄的頂點中dist最小的頂點，就用一個迴圈掃描圖中所有頂點，如果頂點沒被收錄，且頂點值小於MinDist的，就更新一下MinDist，並且把下標V更新給MinIndex。如果能夠找到dist最小頂點的話，就把MinIndex返回出去，否則返回ERROR。

最後看下用鄰接矩陣方式的Prim演算法效果圖：