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特徵值和奇異值分解(SVD)

阿新 • • 發佈：2019-02-05

特徵值分解和奇異值分解兩者有著很緊密的關係，兩者的目的都是為了提取矩陣最重要的特徵。本節先解釋特徵值分解。先用一個例項來說明特徵值和特徵向量的起因和實際意義，然後給出定義，計算方法，python程式碼以及其他解釋。

特徵值分解

例項

某城市有10000名女性，其中8000名已婚，2000名未婚。每年有30%的已婚女性離婚，有20%的未婚女性結婚。計算若干年後該城市已婚女性和未婚女性的數量。

10000名女性可以用一個向量來表示，即w0=[8000,2000]T，每年的婚姻情況變化可以用矩陣來表示。

A=[0.70.20.30.8]
這樣，一年後已婚人數和未婚人數可以表示為
w1=A∗w0=[0.70.20.30.8]∗[80002000]=[60004000]
一直這麼變化下去，從第12年開始已婚未婚人數就穩定下來，到達一個穩態(steady state)。
w12=A12∗w0=[0.70.20.30.8]12∗[80002000]=[0.40.40.60.6]∗[80002000]=[40006000]
這裡會提出一個疑問，如果一開始已婚和未婚人數不是w0=[8000,2000]T，結果還會是w12=[4000,6000]T嗎？從上式可以看出，只要An收斂到等式中的值，不管初值是多少，結果總會是
[4000,6000]T。如果我們把初值就設定為向量[4000,6000]T，那麼結果也會是[4000,6000]T。根據這一點我們可以得到以下等式，設定向量 x1=[2,3]TA∗x1=A∗[23]=1∗[23]

接下來看另一個等式，設定向量x2=[−1,1]T

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