[網絡流24題]最長不下降子序列問題
阿新 • • 發佈:2019-02-05
head empty mes ems print 一次 dinic tdi 方案
[luogu 2766] 最長不下降子序列問題
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第一問:
\(O(n^2)\) 的DP求LIS
為了下面敘述方便,我們將DP過程講一遍
子狀態:dp[i]表示以a[i]結尾的LIS長度
初始條件:dp[i]=1
狀態轉移方程:\(dp[i]=dp[j]+1(j<i,a[j]\leq a[i])\)
第二問:
我們發現若a[j]加上a[i]可以構成一個不下降子序列,則\(j<i,a[j] \leq a[i]\)
又發現每個元素只能在一個序列中,考慮拆點
建圖方法:
原點S=0,T=2n+1
(1)每個點拆成兩個點,i向i+n連邊,容量1
(2)如果dp[i]=1,則s向i連邊,容量1
(3)如果\(j<i,a[j] \leq a[i]\),則j+n向i連邊,容量1
(4)如果dp[i]=k(k為LIS長度),則i+n向t連邊,容量1
最大流即為答案
第三問:
除了1和n對應節點有關的邊容量為INF,其他建圖和方案二一樣
註意一種特殊情況需要特判
當序列嚴格遞減時,dp[i]=1,s=1,並且不存在i,j滿足\(j<i,a[j] \leq a[i]\)
由於dp[1]=1=k,則s會向1連一條INF的邊,1向1+n連一條INF的邊,1+n向t連一條INF的邊,最大流為INF
此時第三問的答案應等於第二問,為n
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #define maxn 505 #define maxm 500005 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; int n; struct edge{ int from; int to; int next; int flow; }E[maxm<<1]; int sz=1; int head[maxn*2]; void add_edge(int u,int v,int w){ // printf("%d->%d %d\n",u,v,w); sz++; E[sz].from=u; E[sz].to=v; E[sz].flow=w; E[sz].next=head[u]; head[u]=sz; sz++; E[sz].from=v; E[sz].to=u; E[sz].flow=0; E[sz].next=head[v]; head[v]=sz; } int deep[maxn*2]; bool bfs(int s,int t){ queue<int>q; q.push(s); for(int i=s;i<=t;i++) deep[i]=0; deep[s]=1; while(!q.empty()){ int x=q.front(); q.pop(); for(int i=head[x];i;i=E[i].next){ int y=E[i].to; if(E[i].flow&&!deep[y]){ deep[y]=deep[x]+1; q.push(y); if(y==t) return 1; } } } return 0; } int dfs(int x,int t,int minf){ if(x==t) return minf; int k,rest=minf; for(int i=head[x];i;i=E[i].next){ int y=E[i].to; if(E[i].flow&&deep[y]==deep[x]+1){ k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow)); rest-=k; E[i].flow-=k; E[i^1].flow+=k; if(k==0) deep[y]=0; if(rest==0) break; } } return minf-rest; } int dinic(int s,int t){ int nowflow=0,maxflow=0; while(bfs(s,t)){ while(nowflow=dfs(s,t,INF)) maxflow+=nowflow; } return maxflow; } int len; int a[maxn]; int dp[maxn]; int solve1(){ int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ dp[i]=1; for(int j=1;j<i;j++){ if(a[i]>=a[j]){ dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]); } } ans=max(ans,dp[i]); } return ans; } int solve2(){ int s=0,t=n*2+1; for(int i=1;i<=n;i++){ if(dp[i]==1) add_edge(s,i,1); } for(int i=1;i<=n;i++){ add_edge(i,i+n,1);//限制每個點只被選一次 } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<i;j++){ if(a[i]>=a[j]&&dp[i]==dp[j]+1){ add_edge(j+n,i,1); } } } for(int i=1;i<=n;i++){ if(dp[i]==len){ add_edge(i+n,t,1); } } return dinic(s,t); } bool is_decrease(){ for(int i=2;i<=n;i++){ if(a[i]>=a[i-1]) return 0; } return 1; } int solve3(){ if(is_decrease()) return solve2(); sz=1; memset(E,0,sizeof(E)); memset(head,0,sizeof(head)); int s=0,t=n*2+1; for(int i=1;i<=n;i++){ if(dp[i]==1){ if(i==1||i==n) add_edge(s,i,INF); else add_edge(s,i,1); } } for(int i=1;i<=n;i++){ if(i==1||i==n) add_edge(i,i+n,INF); else add_edge(i,i+n,1);//限制每個點只被選一次 } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<i;j++){ if(a[i]>=a[j]&&dp[i]==dp[j]+1){ add_edge(j+n,i,1); } } } for(int i=1;i<=n;i++){ if(dp[i]==len){ if(i==1||i==n) add_edge(i+n,t,INF); else add_edge(i+n,t,1); } } return dinic(s,t); } int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); } len=solve1(); printf("%d\n",len); printf("%d\n",solve2()); printf("%d\n",solve3()); }
[網絡流24題]最長不下降子序列問題