link：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2766

題意

給定正整數序列x1,...,xn 。

（1）計算其最長不下降子序列的長度s。

（2）計算從給定的序列中最多可取出多少個長度為s的不下降子序列。

（3）如果允許在取出的序列中多次使用x1和xn，則從給定序列中最多可取出多少個長度為s的不下降子序列。

設計有效算法完成（1）（2）（3）提出的計算任務。

思路

題解來自網絡流24題：

【問題分析】

第一問是LIS，動態規劃求解，第二問和第三問用網絡最大流解決。

【建模方法】

首先動態規劃求出F[i]，表示以第i位為開頭的最長上升序列的長度，求出最長上升序列長度K。

1、把序列每位i拆成兩個點<i.a>和<i.b>，從<i.a>到<i.b>連接一條容量為1的有向邊。

2、建立附加源S和匯T，如果序列第i位有F[i]=K，從S到<i.a>連接一條容量為1的有向邊。

3、如果F[i]=1，從<i.b>到T連接一條容量為1的有向邊。

4、如果j>i且A[i] <= A[j]且F[j]+1=F[i]，從<i.b>到<j.a>連接一條容量為1的有向邊。

求網絡最大流，就是第二問的結果。把邊(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)這四條邊的容量修改為無窮大，再求一次網絡最大流，就是第三問結果。

【建模分析】

上述建模方法是應用了一種分層圖的思想，把圖每個頂點i按照F[i]的不同分為了若幹層，這樣圖中從S出發到T的任何一條路徑都是一個滿足條件的最長上升子序列。

由於序列中每個點要不可重復地取出，需要把每個點拆分成兩個點。單位網絡的最大流就是增廣路的條數，所以最大流量就是第二問結果。

第三問特殊地要求x1和xn可以重復使用，只需取消這兩個點相關邊的流量限制，求網絡最大流即可。

#include <algorithm>
#include  <iterator>
#include  <iostream>
#include   
 
<cstring>
#include   <cstdlib>
#include   <iomanip>
#include    <bitset>
#include    <cctype>
#include    <cstdio>
#include    <string>
#include    <vector>
#include     <stack>
#include     <cmath>
#include     <queue>
#include      <list>
#include       <map>
#include       <set>
#include   <cassert>

/*
        
⊂_ヽ
　 ＼＼ Λ＿Λ  來了老弟
　　 ＼(‘?‘)
　　　 >　⌒ヽ
　　　/ 　 へ＼
　　 /　　/　＼＼
　　 ?　ノ　　 ヽ_つ
　　/　/
　 /　/|
　(　(ヽ
　|　|、＼
　| 丿 ＼ ⌒)
　| |　　) /
‘ノ )　　L?

*/

using namespace std;
#define lson (l , mid , rt << 1)
#define rson (mid + 1 , r , rt << 1 | 1)
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
#define pb push_back
#define pq priority_queue



typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//typedef __int128 bll;
typedef pair<ll ,ll > pll;
typedef pair<int ,int > pii;
typedef pair<int,pii> p3;

//priority_queue<int> q;//這是一個大根堆q
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;//這是一個小根堆q
#define fi first
#define se second
//#define endl ‘\n‘

#define boost ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
#define rep(a, b, c) for(int a = (b); a <= (c); ++ a)
#define max3(a,b,c) max(max(a,b), c);
#define min3(a,b,c) min(min(a,b), c);


const ll oo = 1ll<<17;
const ll mos = 0x7FFFFFFF;  //2147483647
const ll nmos = 0x80000000;  //-2147483648
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; //18
const int mod = 1e9+7;
const double esp = 1e-8;
const double PI=acos(-1.0);
const double PHI=0.61803399;    //黃金分割點
const double tPHI=0.38196601;


template<typename T>
inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) f|=(ch==‘-‘),ch=getchar();
    while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x=f?-x:x;
}

inline void cmax(int &x,int y){if(x<y)x=y;}
inline void cmax(ll &x,ll y){if(x<y)x=y;}
inline void cmin(int &x,int y){if(x>y)x=y;}
inline void cmin(ll &x,ll y){if(x>y)x=y;}

/*-----------------------showtime----------------------*/
          
            const int maxn = 509;
            int a[maxn],dp[maxn];

            struct E{
                int u,v,w;
                int nxt;
            }edge[10*maxn*maxn];
            int head[maxn*20],gtot = 0;
            void addedge(int u,int v,int w){
                edge[gtot].u = u;
                edge[gtot].v = v;
                edge[gtot].w = w;
                edge[gtot].nxt = head[u];
                head[u] = gtot++;

                edge[gtot].u = v;
                edge[gtot].v = u;
                edge[gtot].w = 0;
                edge[gtot].nxt = head[v];
                head[v] = gtot++;
            }

            int dis[maxn*20],cur[maxn*20];
            bool bfs(int s,int t){
                memset(dis, inf, sizeof(dis));
                for(int i=s; i<=t; i++) cur[i] = head[i];

                dis[s] = 0;
                queue<int>que;      que.push(s);
                while(!que.empty()){
                    int u = que.front(); que.pop();
                    for(int i=head[u]; ~i; i = edge[i].nxt){
                        int v = edge[i].v, w = edge[i].w;
                        if(w > 0 && dis[v] > dis[u] + 1){
                            dis[v] = dis[u] + 1;
                            que.push(v);
                        }
                    }
                }
                return dis[t] < inf;
            }

            int dfs(int u,int t,int maxflow){
                if(u == t || maxflow == 0) return maxflow;

                for(int i=cur[u]; ~i; i = edge[i].nxt){
                    cur[u] = i;
                    int v = edge[i].v, w = edge[i].w;
                    if(w > 0 && dis[v] == dis[u] + 1){
                        int f = dfs(v, t, min(w, maxflow));
                        if(f > 0) {
                            edge[i].w -= f;
                            edge[i^1].w += f;
                            return f;
                        }
                    }
                } 
                return 0;
            }

            int dinic(int s,int t){
                int flow = 0;
                while(bfs(s, t)){
                    while(int f = dfs(s, t, inf)) flow += f;
                }
                return flow;
            }
int main(){
            memset(head, -1, sizeof(head));
            int n, k = 0;  scanf("%d", &n);
            rep(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);

            rep(i, 1, n){
                int mx = 0;
                for(int j=1; j<i; j++) if(a[j] <= a[i]) cmax(mx, dp[j]);
                dp[i] = mx + 1;
                cmax(k, dp[i]);
            }
            printf("%d\n", k);

            int s = 0, t = n + n + 1;

            rep(i, 1, n){
                 addedge(i, i+n, 1);
                 if(dp[i] == k) addedge(i+n, t, 1);
                 if(dp[i] == 1) addedge(s, i, 1);
            }

            for(int i=1; i<=n; i++){
                for(int j=i+1; j<=n; j++){
                    if(a[i] <= a[j]&&dp[j] == dp[i] + 1) addedge(i+n, j, 1);
                    //這裏註意還要判斷a【i】 <=  a【j】 
                }
            }
            int res = dinic(s,t);
            printf("%d\n", res);
            
            if(dp[1] == 1)
                addedge(s, 1, inf),addedge(1,1+n,inf);
            if(dp[n] == k)
                addedge(n,n+n,inf),addedge(n+n,t,inf);

            printf("%d\n", dinic(s, t) + res);
            return 0;
}

P2766 最長不下降子序列問題 網絡流