四色問題:

四色問題是m圖著色問題的一個特列，根據四色原理，證明平面或球面上的任何地圖的所有區域都至多可用四種、顏色來著色，並使任何兩個有一段公共邊界的相鄰區域沒有相同的顏色。這個問題可轉換成對一平面圖的４－著色判定問題(平面圖是一個能畫於平面上而邊無任何交叉的圖)。將地圖的每個區域變成一個結點，若兩個區域相鄰，則相應的結點用一條邊連線起來。多年來，雖然已證明用5種顏色足以對任一幅地圖著色，但是一直找不到一定要求多於4種顏色的地圖。直到1976年這個問題才由愛普爾(k．i．apple)，黑肯(w．haken)和考西(j．koch)利用電子計算機的幫助得以解決。他們證明了4種顏色足以對任何地圖著色。

在這一節，不是隻考慮那些由地圖產生出來的圖，而是所有的圖。討論在至多使用m種顏色的情況下，可對一給定的圖著色的所有不同方法。

m圖著色問題：

題目大意：

1，已知一個圖g和m>0種顏色，在只准使用這m種顏色對g的結點著色的情況下，是否能使圖中任何相鄰的兩個結點都具有不同的顏色呢?這個問題稱為m-著色判定問題。

2，在m-著色最優化問題則是求可對圖g著色的最小整數m。這個整數稱為圖g的色數。這是求圖的最少著色問題，求出m的值。

題目的解法：

第一個問題，m-著色判定問題：

可以通過回溯的方法，不斷的為每一個節點著色，在前面n-1個節點都合法的著色之後，開始對第n個節點進行著色，這時候列舉可用的m個顏色，通過和第n個節點相鄰的節點的顏色，來判斷這個顏色是否合法，如果找到那麼一種顏色使得第n個節點能夠著色，那麼說明m種顏色的方案是可行的。返回真即可：

//用於判斷當前節點上塗上這個顏色可不可行，與其鄰接節點的顏色做判斷，這裡用鄰接表來儲存圖的資訊 bool isok(int step) { vector<int>::iterator iter; for(iter = input[step].begin(); iter != input[step].end(); iter++) { if(Color[step] == Color[*iter]) return false; } return true; } //step表示0->n的節點，color_num是指給color_num的顏色的個數可用 //判斷如果給color_num的顏色的個數是否可行，如果可行返回true,否則false bool DFS(int step, int color_num) { if(step >= n) return true; else { int i; for(i = 1; i<= color_num; i++) { Color[step] = i; if(isok(step)) { if(DFS(step + 1, color_num)) return true; } Color[step] = 0; } } return false; }

第二個問題：求出最少的著色數m

有了上面的問題的積累，對於這個問題就很簡單了，只要從1到n列舉顏色數，來呼叫上面的DFS(0, m),如果有一次呼叫返回true，那麼這時這個顏色就是我們要求的最少的著色數。

for(i = 1; i<= n; i++) { if(DFS(0, i)) { cout << "the min colors :" << i << endl; break; } } 

參考：