資料結構 關於樹的幾個證明題及程式碼實現
阿新 • • 發佈：2019-02-06
一、求二叉樹的深度
typedef struct BTNode BTNode{
Elemtype data;
struct BTNode *lchild,*rchild;
} BTNode;
int depth(BTNode *T){
if(!T)
return 0;
int ldepth = depth(T->lchild);
int rdepth = depth(T->rchild);
return ldepth>rchild ? (ldepth+1) : (rdepth+1);
}二、判斷一棵樹是否是排序二叉樹（遞迴實現）
思路是：中序遍歷排序二叉樹，遍歷序列有序
typedef struct BTNode BTNode{ Elemtype data; struct BTNode *lchild,*rchild; } BTNode; int preVal = MIN; //MIN表示int變數所能表示的最小值 bool isBST(BTNode *T){ if (!T) return true; bool l = isBST(T->lchild); if (preVal > T->data) return false; else preVal = T->data; bool r = isBST(T->rchild); return l&&r; }
三、判斷一棵樹是否是排序二叉樹（非遞迴實現）
typedef struct BTNode BTNode{ Elemtype data; struct BTNode *lchild,*rchild; } BTNode; bool isBST(BTNode *T){ BTNode* stack[NODE_NUM]; int top = -1; while(T || top != -1){ while(T){ stack[++top] = T; t = t->lchild; } T = stack[top--]; if (T->data > stack[top]->data) return false; T = stack[top--]->rchild; } return true; }
四、求Haffman樹的帶權路徑長度
帶權路徑長度：樹中每個 葉子節點的權值 *該葉子節點到根節點的路徑長度（邊數） 之和
思路：採用層序遍歷，通過層數可以知道該層上的葉子節點的路徑長度
typedef struct BTNode BTNode{
Elemtype data;
struct BTNode *lchild,*rchild;
} BTNode;
int method(BTNode *T){
BTNode* Q[NODE_NUM];
int front = 0,rear = 0,sum = 0,level,node_num; //level為當前遍歷的層數，node_num為當前層的結點數
//樹為空或者僅有一個根節點，則帶權路徑為0
if(!T || (!T->lchild && !T->rchild))
return 0;
Q[rear++] = Q->lchild;
Q[rear++] = Q->lchild;
level = 2;
node_num = 2;
while(isNotEmpty(Q)){
int num = 0; //用來記錄下一層的結點個數
BTNode* p;
for(int i=0;i<node_num;i++){
p = Q[front--];
if (!p->lchild)
sum += (level-1) *p->weight;
else{
Q[rear++] = Q->lchild;
Q[rear++] = Q->lchild;
num += 2;
}
}
level++;
node_num = num;
}
return sum;
}typedef struct BTNode BTNode{
Elemtype data;
struct BTNode *lchild,*rchild;
} BTNode;
int count; //結點總數
void method(BTNode *T){
if (T){
method(T->lchild);
if (!T->lchild && !T->rchild)
count++;
method(T->rchild);
}
}六、判斷一棵二叉樹是否平衡
typedef struct BTNode BTNode{
Elemtype data;
struct BTNode *lchild,*rchild;
} BTNode;
bool main(BTNode *T){
int depth = 0;
return method(T,&depth);
}
bool method(BTNode *T){
if (!T){
&depth = 0;
return true;
}
//儲存每顆子樹的高度
int ldepth,rdepth;
bool l = method(T->lchild,*ldepth);
bool r = method(T->rchild,*rdepth);
//如果有一顆子樹不平衡，或者以當前遞迴結點為根的根樹不平衡，則返回false，只要有一個false，
//則會一直返回false，直到退出程式
if (!(l&&r) || (ldepth-rdepth)<-1 || (ldepth-rdepth)>1)
return false;
//根樹平衡，則算出該樹的高度
*depth = ldepth>rdepth ? (ldepth+1) : (rdepth+1);
return true;
}七、非遞迴演算法求二叉樹只有一個孩子的結點個數（單分支）
typedef struct BTNode BTNode{
Elemtype data;
struct BTNode *lchild,*rchild;
} BTNode;
bool method(BTNode *T){
BTNode* stack[NODE_NUM];
int top = -1,count = 0;
if (!T)
return 0;
while (T || top != -1){
while(T){
stack[++top] = T; //入棧
T = T->lchild;
}
T = stack[top--];
if ((!T->lchild && T->rchild) || (T->lchild && !T->rchild))
count++;
T = T->rchild;
}
return count;
}八、騎士巡遊（java）
#include <stdio.h>
const int n = 8; //棋盤的行列數
int chess[n][n]; //1代表已遍歷，0代表未遍歷
int traverse[n*n]; //存放遍歷路徑，座標(x,y)代表chess中：從上往下，從左往右的第x*8+y+1個位置
int index = 0;
int step = n*n;
bool move(int,int);
int main(){
int x=0,y=1;
if (move(x,y)){
//輸出遍歷序列
for (int i=0;i<index;++i)
printf("%d ",traverse[i]);
printf("\n index = %d",index);
return 0;
}else {
printf("遍歷失敗！");
return 0;
}
return 0;
}
//x，y∈[0,7]
bool move (int x,int y){
if (chess[x][y] || x<0 || x>7 || y<0 ||y>7)
return false;
--step;
chess[x][y] = 1;
traverse[index++] = x*8+y+1;
if (step==0)
return true;
if (move(x-1,y-2))
return true;
if (move(x-2,y-1))
return true;
if (move(x-2,y+1))
return true;
if (move(x-1,y+2))
return true;
if (move(x+1,y-2))
return true;
if (move(x+2,y-1))
return true;
if (move(x+2,y+1))
return true;
if (move(x+1,y+2))
return true;
return false;
}
九、證明：正則二叉樹只有奇數個定點，偶數條邊
證：由定義可知，正則二叉樹結點的度要麼為0，要麼為2，設Ni為度為i的結點個數，令結點總數為n，則有：
N0 = N2 + 1 , N0 + N2 = N ，推得：2 * N2 + 1 = n，故有奇數個頂點，又邊數 = 頂點數 - 1，則有
偶數條邊