１  最短路徑演算法

在日常生活中，我們如果需要常常往返A地區和B地區之間，我們最希望知道的可能是從A地區到B地區間的眾多路徑中，那一條路徑的路途最短。最短路徑問題是圖論研究中的一個經典演算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。 演算法具體的形式包括：

（１）確定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題。

（２）確定終點的最短路徑問題：與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。

（３）確定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

（４）全域性最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。

用於解決最短路徑問題的演算法被稱做“最短路徑演算法”， 有時被簡稱作“路徑演算法”。 最常用的路徑演算法有：Dijkstra演算法、A*演算法、Bellman-Ford演算法、Floyd-Warshall演算法、Johnson演算法。

本文主要研究Dijkstra演算法的單源演算法。

　　Dijkstra演算法是典型最短路演算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。Dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。

Dijkstra演算法是很有代表性的最短路演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如資料結構，圖論，運籌學等等。　

Dijkstra演算法思想為：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以後每求得一條最短路徑 , 就將 加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，演算法就結束了），第二組為其餘未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

（1）初始時，S只包含源點，即S＝，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，U中頂點u距離為邊上的權（若v與u有邊）或 ）（若u不是v的出邊鄰接點）。

（2）從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

（3）以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u（u U）的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

（4）重複步驟（2）和（3）直到所有頂點都包含在S中。

如下圖，設A為源點，求A到其他各頂點（B、C、D、E、F）的最短路徑。線上所標註為相鄰線段之間的距離，即權值。（注：此圖為隨意所畫，其相鄰頂點間的距離與圖中的目視長度不能一一對等）

圖一：Dijkstra無向圖

演算法執行步驟如下表：【注：圖片要是看不到請到“相簿--日誌相簿”中，名為“Dijkstra演算法過程”的圖就是了】

參考文獻

[1] 黃國瑜、葉乃菁，資料結構，清華大學出版社，2001年8月第1版

[3] 李春葆，資料結構教程，清華大學出版社，2005年1月第1版

[3] Dijkstra演算法，http://baike.baidu.com/view/7839.htm