用Python學《微積分B》（Taylor公式與曲線擬合）
Taylor公式是微分學部分集大成者，可以說，只有理解了Taylor公式，才能真正感受到微分學方法的神奇與強大。本文主要根據扈志明老師的《微積分B》課程的內容，總結我對Taylor公式的理解。此外，也應用Python求解該部分的課後習題。
注：sympy中對高階無窮小取樣的是“Big O notation”（大O標記法）；而扈志明老師的《微積分B》課程採用的是“Little O notation”（小o標記法），兩者是有差別的。我一開始沒注意到這個差別，後面在用python做題時發現了，但是鑑於公式較多，就不一一修改了，特此宣告。關於這兩者的區別，請看：
https://stackoverflow.com/questions/1364444/difference-between-big-o-and-little-o-notation
一、Taylor公式的聯想
1，Taylor series of degree n about a
這個公式是對f(x)在a處的近似。
2，Taylor's Theorem
其中，餘項（誤差）滿足：
嚴格的證明推導過程可以去看教科書，或者wiki。我在此只是結合微分學部分前面所學的知識，來一步步聯想一下Taylor公式。
1）若函式f(x)在x0處連續，則根據連續的定義
根據極限的定義，有
其中，表示同階無窮小
2）若函式f(x)在x0附近可導（可微分），則根據微分的定義
其中，表示高階無窮小
3）類似地，若函式f(x)在x0附近n階可導（可微分），假設可以找到一個關於(x - x0)的n次多項式使得：
下面來求係數：
對上式兩邊取極限，
可得，
代入原式，移項得
然後再兩邊取極限，應用洛必達法則求出極限，
得到
同理，可以求出其餘的係數C。
此時，再回過頭來看，
完成了形式上的統一。
二、曲線擬合
1，一個例子
下面來看一下使用Taylor公式對曲線 f(x) = sin(x) 在 x = 0 附近的近似
如上圖所示，隨著階數的升高，Taylor公式的吻合原曲線的範圍越大。
可能又人會問，既然已經知道了原函式表示式，為什麼還要這麼一個近似？或者說Taylor公式有什麼用？
從上面這個例子就能很好的回答這個問題，這個近似的作用是：方便數值計算。具體來說：
雖然已知 f(x) = sin(x)，但要想求f(1)、f(2.3)、f(5.7)，依然很棘手。有了Taylor公式，就可以把這類棘手的問題轉變為多項式計算，而且可以根據需要的精度進行相應的近似，是不是很神奇？
Taylor公式提供了這樣一種數值計算的方法：從一個特殊點估算它附近的點的值。而且這個“附近”的範圍可以不斷擴大。
2， Taylor公式的唯一性
當階數n確定後，Taylor公式是唯一一個能夠足夠接近原函式（誤差為）的n次多項式。可以用“反證法”證明，過程有點複雜，可以自行google。
3，曲線擬合
前面說的是已知原函式，求近似多項式。事實上，根據Taylor公式我們知道：只要原函式有n階導數，它就可以用Taylor公式來近似。那麼，即使我們不知道原函式，而僅僅是知道一些點，我們也可以用n次多項式來近似這些點所代表的函式，這就是“曲線擬合”。這裡不是很嚴格，它需要假設被擬合的函式有n階導數。
這麼說了，曲線擬合就變成了根據已知點求n次多項式的係數的問題啦。當然，已知點的數量不同，能夠擬合的多項式的冪級也同。比如，只有兩點，則只能擬合成直線；若有三點，可以擬合成拋物線。。。
三、Taylor公式的應用
之所以說“Taylor公式是微分學的集大成者”，是因為它幾乎可以做所有微分學的運算，包括：求極限（PK 洛必達法則）、求高階導數、判斷函式的階（無窮小比較）、近似計算、分析函式的性質、曲線擬合等。簡直要通吃一切微分學方法。
1，五個簡單函式的Maclaurin公式
當然，要用好Taylor公式，有五個特殊的Taylor公式（Maclaurin公式）需要了解：
特別地：
注：以上的“Big O”都是“Little o”。
四、課後習題
附：
1）wiki - Taylor theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
2）常用Maclaurin級數
http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html
3）描述和證明
https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/taylors_thm/taylors_thm.pdf
http://125.71.228.222/wlxt/ncourse/wjf1/web/website/website01/43/p43_148.htm.files/20140911211015.pdf
4）通俗解釋
https://www.zhihu.com/question/21149770