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(多項式)因式分解定理(Factor theorem)與多項式剩餘定理(Polynomial remainder theorem)(多項式長除法)

(多項式的)因式分解定理(factor theorem)是多項式剩餘定理的特殊情況,也就是餘項為 0 的情形。

0. 多項式長除法(Polynomial long division)


這裡寫圖片描述

1. 因式分解定理

該定理表達的是,多項式 f(x) 存在因子 xk 當且僅當 f(k)=0(餘數為 0,也即 k 是其根)。

對於多項式 f(x)=x3+7x2+8x+2

  • x1 是否為其因子?f(1)0
  • x+1 是否為其因子?f(1)=0,故為其因子;

(多項式除法)又有 x3+7x2+8x+2x+1=x2+6x+2,因此 x+1x2+6x+2 均為其因子。

2. 多項式餘項定理

舉例對於多項式 f(x)=x312x242,當除數為 x3 時,商為 x29x27,餘項為 123。也即,f(x)=(x3)(x29x27)123。因此 f(3)=123

更為一般地,對於二次多項式 f(x)=ax2+bx+c,有如下的等式變換:

f(x)xr=ax2+bx+cxr=ax2arx+arx+bx+cxr=ax(xr)+(b+ar)x+cxr=ax+(b+ar)(xr)+c+r(b+ar)xr=ax+b+ar+c+r(b+ar)xr=ax+b+ar+ar2+br+cxr

所以:

f(x)=(xr)(ax+b+ar
)+ar2+br+c