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[51NOD1237]最大公約數之和 V3

阿新 • • 發佈：2019-02-07

題目大意

給定n，試求

∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)
結果對109+7取模。

2≤n≤1010

題目分析

我們將題目改為求

∑i=1n∑j=1igcd(i,j)
然後將答案乘二再減去1到n的和即可。
那麼上面這條式子是什麼呢？
∑i=1n∑j=1igcd(i,j)=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋φ(i)=∑d=1nφ(d)(1+⌊nd⌋)⌊nd⌋2
對⌊nd⌋分塊，對前面的尤拉函式使用杜教篩求字首和。
時間複雜度？這個算起來有點麻煩，我來口胡一下。
假設我們預處理的部分大小為a
∑i=1n√∑j=1⌊ia⌋O⎛⎝ij−−√⎞⎠+∑i=1n√∑j=1⌊nia⌋
O(nij−−√)
顯然右邊部分的複雜度要大於左邊，使用積分來計算：
∑i=1n√∑j=1⌊nia⌋O(nij−−√)≈O(∫n√0(∫nax0nxy−−−√dy)dx)=O(∫n√0nx1a−−√)=O(1a−−√nlogn)
然後a可以在空間限制內儘量取大一點，我取了1.5×107。

程式碼實現

我的程式碼莫名其妙常數巨大，卡著空間取的a讓我卡著時限過了這題。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int
 
 P=1000000007;
const int itwo=500000004;
const int L=15000000;
const int N=100050;

int pri[L+5],phi[L+5],f[L+5],sum[L+5];
int S[N],vis[N];
bool mark[L+5];
int ans,l,s,cnt;
LL n;

void pre()
{
    s=trunc(sqrt(n)),l=L;
    mark[1]=1,sum[1]=phi[1]=1,f[1]=1;
    for (int i=2;i<=l;++i)
    {
        if (!mark[i]) pri[++pri[0
 
]]=i,phi[i]=i-1,f[i]=i;
        for (int j=1,k;j<=pri[0];++j)
        {
            i

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