【BZOJ2142】禮物（擴充套件Lucas）

Description

一年一度的聖誕節快要來到了。每年的聖誕節小E都會收到許多禮物，當然他也會送出許多禮物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的禮物會越多。小E從商店中購買了n件禮物，打算送給m個人，其中送給第i個人禮物數量為wi。請你幫忙計算出送禮物的方案數（兩個方案被認為是不同的，當且僅當存在某個人在這兩種方案中收到的禮物不同）。由於方案數可能會很大，你只需要輸出模P後的結果。

Solution

參考部落格

容易看出答案是：

A n s = (\binom{n}{w_{1}}) (\binom{n - w_{1}}{w_{2}}) (\binom{n - w_{1} - w_{2}}{w_{3}}) \dots

p

沒有保證是質數，所以考慮對於每一個組合數用擴充套件

L u c a s

定理求出。

將 $p$ 表示成 $\prod_{i} p_{i}^{k_{i}}$ ，我們可以對於所有不同的質因子 $p_{i}$ 求出 $(\binom{n}{m}) mod p_{i}^{k_{i}}$ ，然後用CRT合併，所以現在主要是要求 $(\binom{n}{m}) mod p_{i}^{k_{i}}$ 。

我們首先只考慮對於 $n!$ 的計算， $m!$ 、 $(n - m)!$ 同理。
像網上大多數部落格一樣，舉這個例子：
假設 $n = 22$ ， $p_{i} = 3$ ， $k_{i} = 2$
那麼 $n! = 1 \times 2 \times \dots \times 22$
然後將其中是3的倍數的數提出來：
$(1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8 \times 10 \times 11 \times 13 \times 14 \times 16 \times 17 \times 19 \times 20 \times 22) \times 3^{6} \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7)$

(1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8 \times 10 \times 11 \times 13 \times 14 \times 16 \times 17 \times 19 \times 20 \times 22) \times 3^{6} \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7)

然後發現這個式子可以分成三部分：
1、

p_{i}^{k_{i}}

,這個可以直接快速冪
2、對於階乘，我們可以遞迴求解
3、對於前面的缺了

3

的倍數的階乘，我們發現以

p_{i}^{k_{i}}

為週期，它們是同餘的！
即

(1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8) \equiv (10 \times 11 \times 13 \times 14 \times 16 \times 17) (\mod 3^{2})

注意 $p_{i}^{k_{i}}$ 要放在最後算，因為

m!

、

(n - m)!

如果包含

p_{i}^{k_{i}}

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