目錄

• 問題
• 流程
• 代碼
• 生日悖論
• end

問題

給定n，要求對n質因數分解
普通的試除法已經不能應用於大整數了，我們需要更快的算法

流程

大概就是找出\(n=c*d\)
如果\(c\)是素數，結束，不是繼續遞歸處理。
具體一點的話
1.先對n進行\(miller\_rabin\)測試，是素數就直接結束了
如果不會的話，看我前篇博客的介紹吧
為何還要多寫個\(miller\_rabin\)，他沒有非平凡因子，他要保證復雜度？
2.隨機基底a和c，生成序列\(x_{0}=a,x_{i}=x_{i-1}^{2}+c(mod n)\)

劉汝佳先生說：想象一下，假設有兩個小孩子在一個“可以無限向前跑”的跑道上賽跑，同時出發。但其中一個小孩的速度是另一個的兩倍。如果跑道是直的，跑得快的小孩永遠在前面；但如果跑道有環，則跑得快的小孩將“追上”跑得慢的小孩。

算法復雜度\(O(n^{ \frac {1}{4} }*pro)\)

代碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 10005;
typedef long long LL;

LL fpm(LL a, LL k, LL p) //calc a^k % p
{
    LL res = 1;
    for (; k ; k >>= 1, a = a * a % p)
        if (k & 1) res = a * res % p;
    return res;     
}

int prime[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
bool detective(LL a, LL n)
{
    int r = 0; LL d = n - 1; // n - 1 = 2 ^ r * d
    while (d % 2 == 0) d >>= 1, ++r;
    for (LL x = fpm(a, d, n), y; r ; r--)
    {
        y = x * x % n;
        if (y == 1)
        {
            if (x == 1) return true;
            if (x == n - 1) return true;
            return false;
        }
        x = y;
    }
    return false;
}
bool miller_rabin(LL n)
{
    for (int i = 0; i < 10; i++)
    {
        if (n == prime[i]) return true;
        if (n % prime[i] == 0) return false;
        if (!detective(prime[i], n)) return false;
    }
    return true;
}

vector<LL> res;
int irand() {return rand() << 15 ^ rand();}
LL irand(LL n) {return (((LL) irand()) << 30 ^ irand()) % n;}
LL mul(LL a, LL b, LL n) {return (a * b - (LL) ((long double) a * b / n + 1e-9) * n) % n;}
LL rho(LL n)
{
    LL a = irand(n), c = irand(n);
    LL x = a, y = (mul(a, a, n) + c) % n;
    LL z = x > y ? x - y: y - x;
    LL d = __gcd(z, n);
    while (d == 1)
    {
        x = (mul(x, x, n) + c) % n;
        y = (mul(y, y, n) + c) % n;
        y = (mul(y, y, n) + c) % n;
        z = x > y ? x - y: y - x;
        d = __gcd(z, n);
    }
    return d;
}
void pollard_rho(LL n)
{
    if (n == 1) return ;
    if (miller_rabin(n)) {res.push_back(n); return ;}
    LL d = n; while (d == n) d = rho(n);
    pollard_rho(d); pollard_rho(n / d);
}
int main()
{
    pollard_rho(997 * 131ll * 6ll * 50ll * 79ll * 97 * 12132);
    for (auto x: res) cerr << x << " " ;
}
 

生日悖論

（當然，我們這裏的一年是穩定365天，和我們不一樣）
23個人中至少有一對兩個人生日相同的概率在一半以上，感覺不可思議吧，與我們自我感覺的有很大差異,其實，當我們看到“有人生日相同”時，下意識地會用“與我生日相同”去推測，直覺就讓我們直覺產生了“兩人生日相同”概率很小。理性計算的結果與日常經驗產生了如此明顯的矛盾，所以叫做“生日悖論”。
可以說，直覺沒有錯，錯的是我們沒有正確地去理解問題。因此，當我們剝開直覺的謊言，看清事實的那一刻，才會覺得如此不可思議。
我們的問題是“任意兩個人的生日相同的概率”（所以要理性分析呀qwq）。
我們討論兩個人生日相同的情況。
總概率是365*365，生日不同的情況\(365*364\)
那生日相同的情況就是 \(\frac{365*365-365*364}{365*365}=\frac{1}{365}\)
四個人同理\(\frac{365^4-\frac{365!}{361!}}{365^4}\)
再大一點可以用long double 計算，可以算出23人時概率就大於一半了

end

好多摘抄的呀qwq，在這裏鳴謝好多好多的網上資料

Pollard Rho大質數分解學習筆記