知識點：01揹包（多種姿勢：二維實現+一維實現+滾動陣列實現+揹包裝滿+輸出最優方案）
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四月份還沒寫，不能這麼荒廢了呀，趕緊水一篇吧，哈哈。前些日子回顧了DP的一些基礎，就做一下整理吧，從0-1揹包開始。
本節回顧0-1揹包的基本模型，關於它的實現有很多種寫法，這裡對不同實現做個簡單列舉，主要是寫程式碼練手了，主要有以下幾方面內容：
==0-1揹包問題定義 & 基本實現
==0-1揹包使用滾動陣列壓縮空間
==0-1揹包使用一維陣列
==0-1揹包恰好背滿
==0-1揹包輸出最優方案
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0-1揹包問題定義 & 基本實現
問題：有個容量為V大小的揹包，有很多不同重量weight[i](i=1..n)不同價值value[i](i=1..n)的物品，每種物品只有一個，想計算一下最多能放多少價值的貨物。
DP的關鍵也是難點是找到最優子結構和重疊子問題，進而找到狀態轉移方程，編碼就相對容易些。最優子結構保證每個狀態是最優的，重疊子問題也即n狀態的求法和n-1狀態的求法是一樣的；DP在實現上一般是根據狀態轉移方程自底向上的迭代求得最優解（也可以使用遞迴自頂向下求解）。
回到0-1揹包，每個物體i，對應著兩種狀態：放入&不放入揹包。揹包的最優解是在面對每個物體時選擇能夠最大化揹包價值的狀態。0-1揹包的狀態轉移方程為
| 1 |
f(i,v)
= max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }
|
f(i,v)表示前i個物體面對容量為v時揹包的最大價值，c[i]代表物體i的cost(即重量)，w[i]代表物體i的價值；如果第i個物體不放入揹包，則揹包的最大價值等於前i-1個物體面對容量v的最大價值；如果第i個物體選擇放入，則揹包的最大價值等於前i-1個物體面對容量v-cost[i]的最大價值加上物體i的價值w[i]。
對於實現，一般採用一個二維陣列（狀態轉移矩陣）dp[i][j]來記錄各個子問題的最優狀態，其中dp[i][j]表示前i個物體面對容量j揹包的最大價值。
下面給出0-1揹包的基本實現，時間複雜度為O(N*V)，空間複雜度也為O(N*V)，初始化的合法狀態很重要，對於第一個物體即f[0][j]，如果容量j小於第一個物體（編號為0）的重量，則揹包的最大價值為0，如果容量j大於第一個物體的重量，則揹包最大價值便為該物體的價值。為了能單步驗證每個狀態的最優解，程式最後將狀態轉移矩陣的有效部分輸出到了檔案。
程式碼如下：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
#include
<iostream>
using
namespace std;
/*
0-1揹包 版本1
*
Time Complexity O(N*V)
*
Space Complexity O(N*V)
*
設 V <= 200 N <= 10
*
狀態轉移方程：f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }
*/
int
maxValue[11][201]; /* 前i個物體面對容量j的最大價值，即子問題最優解 */
int
weight[11];
int
value[11];
int
V, N;
void
main()
{
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