PS：參考了黃源河的論文《左偏樹的特點及其應用》

題目描述：給定一個整數序列\(a_1, a_2, … , a_n\)，求一個遞增序列\(b_1 < b_2 < … < b_n\)，使得序列\(a_i\)和\(b_i\)的各項之差的絕對值之和 \(|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + … + |a_n - b_n|\) 最小。

不難發現兩條性質：

①：若原序列a滿足\(a_1 < a_2 < … < a_n\)，顯然最優情況為\(b_i=a_i\)

②：若原序列a滿足\(a_1 > a_2 > … > a_n\)，顯然最優情況為\(b_{mid}=x\)

有了上述的兩種情況，不難發現，整個a序列是尤一些單調區間組成。

所以我們可以將原序列a拆成若幹個單調區間，最後再將答案合並。

那兩段區間的答案怎麽合並呢？

我們可以重新找一個中位數來合並即可。

不斷的找中位數，不難想到這道題，可是那道題是一個一個加入進堆，而現在我們要解決的是將兩個堆合並來找中位數，直接上二叉堆合並復雜度為\(O(n)\)，所以不難想到可並堆（這裏使用左偏樹）。

假設我們已經找到前k個數的最優解，隊列中有\(cnt\)段區間，每段區間最優解為\(w_1,w_2,…,w_{cnt}\)，現在要加入\(a_{k+1}\)，並更新隊列。

首先把\(a_{k+1}\)

註意：題目要求的是一個遞增序列b，可以用減下標來實現（即輸入時把每個數都減去對應下標，輸出時加上），這樣就可以將遞增序列轉化成不下降序列，這樣就可以保證每一段區間的序列b不一樣了（原本有很多連續一段區間全是中位數，不能保證遞增）。

代碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 1000000007
il int read()
{
    re int x=0,f=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
#define _ 1000006
int n,dis[_],ch[_][2],cnt;
ll a[_],b[_],ans;
struct node{int root,ls,rs,size,val;}e[_];
il int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(a[x]<a[y]||(a[x]==a[y]&&x>y)) swap(x,y);
    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
    if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
    return x;  
}
int main()
{
    n=read(); dis[0]=-1;
    for(re int i=1;i<=n;++i) a[i]=read()-i;
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        e[++cnt]=(node){i,i,i,1,a[i]};
        while(cnt>1&&e[cnt].val<e[cnt-1].val)
        {
            --cnt;
            e[cnt].root=merge(e[cnt].root,e[cnt+1].root);
            e[cnt].size+=e[cnt+1].size;
            e[cnt].rs=e[cnt+1].rs;
            while(e[cnt].size*2>e[cnt].rs-e[cnt].ls+2)
            {
                --e[cnt].size;
                e[cnt].root=merge(ch[e[cnt].root][0],ch[e[cnt].root][1]);
            }
            e[cnt].val=a[e[cnt].root];
        }
    }
    for(re int i=1;i<=cnt;++i)
    {
        for(re int j=e[i].ls;j<=e[i].rs;++j)
        {
            b[j]=e[i].val;
            ans+=abs(a[j]-b[j]);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    for(re int i=1;i<=n;++i) printf("%lld ",b[i]+i);
    return 0;
}
 

[BOI2004]Sequence 數字序列