Atcoder AGC008F ： Black Radius（DP）

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題解：
定義二元組 $(x, d)$ 為一個選擇 $x$ 為關鍵點， $d$ 為最大距離的染色方案。
先考慮全為黑色點的做法：
我們設 $f (x, d)$ 表示與 $x$ 距離不超過 $d$ 的點的集合。不妨假設 $f (x, d)$ 不是全集，這樣答案就是所有本質不同的集合 f(x,d) 個數再加上 1（因為全集總是一種合法的染色方案）。
如果對於每個 $x$ 直接求出有多少 $d$ 的取值並累加顯然是不對的，因為這樣會有本質相同的方案被重複計算。
我們考慮對於每個點對 $(i, j)$ ，染色方案 $(i, d_{1})$ 和 $(j, d_{2})$ 何時會重複：設 $S = f (i, d_{1}) = f (j, d_{2})$

S = f (i, d_{1}) = f (j, d_{2})

，那麼對於任意

i

到

j

路徑上的節點

k

均滿足

f (x, d_{1} - d i s t (i, k)) = S

，其中

d i s t (i, k)

表示

i

在樹上與

k

的距離。故我們找到路徑上最接近

i

的節點（即與

i

相鄰）的節點

k

，只需要關心這些節點即可。
我們試圖計算有多少

d

滿足

f (i, d)

不與任何

f (j, d_{2})

重複，據題意得：
1、

f (i, d)

不為全集。
2、對於任意與

i

相鄰的

k

，

f (i, d) \neq f (k, d - 1)

。
第1種條件的解決方法很簡單，我們對於每個節點

i

求出

i

到樹上最遠節點的距離

d i s_{i}

，那麼

d \in [0, d i s_{i} - 1]

。
第2種條件可以等價於方案

(i, d)

中以

i

為根的樹除了

k

所在子樹中的節點之外均被染黑而方案

(k, d - 1)

中這些節點也同樣被染黑，那麼我們對於每條邊

(i, k)

求出從

i

出發不經過

k

到樹上最遠節點的距離

d i s_{2} (i, k)

，則

d \in [0, d i s 2 i, k + 1] 。

d i s_{i}

和

d i s_{2} (i, k)

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