BZOJ 2734: [HNOI2012]集合選數 亂搞DP
阿新 • • 發佈:2019-02-09
Description
《集合論與圖論》這門課程有一道作業題,要求同學們求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有滿足以 下條件的子集:若 x 在該子集中,則 2x 和 3x 不能在該子集中。同學們不喜歡這種具有列舉性 質的題目,於是把它變成了以下問題:對於任意一個正整數 n≤100000,如何求出{1, 2,…, n} 的滿足上述約束條件的子集的個數(只需輸出對 1,000,000,001 取模的結果),現在這個問題就 交給你了。
Input
只有一行,其中有一個正整數 n,30%的資料滿足 n≤20。
Output
僅包含一個正整數,表示{1, 2,…, n}有多少個滿足上述約束條件 的子集。
Sample Input
4
Sample Output
8
【樣例解釋】
有8 個集合滿足要求,分別是空集,{1},{1,4},{2},{2,3},{3},{3,4},{4}。
題解:
這題不看題解真的是想不到啊,因為這個集合不能讓2x和3x共存,所以(dalao們)就想到構造出一個如下的矩陣:
x 3x 9x …
2x 6x 18x …
4x 12x 36x …
…
這樣對於每個x只要在矩陣中出現一次即可,就有了若干個矩陣,每個矩陣之間互不干預,所以只要將所有矩陣的合法選取方案數乘起來即可,我們看這個矩陣的行最大不超過17,所以我們直接硬上狀壓DP就行了,F[i][j]表示第i行狀態為j的方案數,在轉移的時候扔掉兩個1相鄰的情況,再判斷一下上下有相同的1的情況即可。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int mod=1e9+1;
bool vis[300000];
int a[20][20];
long long f[20][200000 ];
int top[20];
int n;
long long calc(int x)
{
a[1][1]=x;
int i;
for(i=1;;i++)
{
int j;
for(j=1;;j++)
{
vis[a[i][j]]=true;
a[i][j+1]=a[i][j]*3;
if(a[i][j+1]>n) break;
}
top[i]=j;
a[i+1][1]=a[i][1]*2;
if(a[i+1][1]>n) break;
}
top[i+1]=0;
int temp=i;
for(int i=1;i<=temp;i++)
for(int j=0;j<(1<<top[i]);j++)
f[i][j]=0;
f[temp+1][0]=0;
f[0][0]=1;
top[0]=0;
for(i=0;i<=temp;i++)
{
for(int j=0;j<(1<<(top[i]));j++)
{
if(f[i][j]==0) continue;
if((j&(j<<1))) continue;
for(int k=0;k<(1<<(top[i+1]));k++)
{
if(j&k) continue;
(f[i+1][k]+=f[i][j])%=mod;
}
}
}
return f[temp+1][0];
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
long long ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis[i])
(ans*=calc(i))%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}