1. 說明

 ARMA迴歸滑動平均模型(Autoregressive Moving Average Model,簡記ARIMA)，是研究時間序列的重要方法，由自迴歸模型（簡稱AR模型）與滑動平均模型（簡稱MA模型）為基礎“混合”構成。常用於具有季節變動特徵的銷售量、市場規模的預測等。ARIMA模型相對ARMA模型，僅多了差分操作。

2. 相關概念

(1) 自迴歸模型（AR）

 自迴歸模型autoregressive model，簡稱AR．在時序分析中，描述時間序列｛yt｝自身某一時刻和前p個時刻之間相互關係的模型稱自迴歸模型，其形式為：

 其中Φ1, Φ2,…, Φp是模型引數，εt是白噪聲序列，它反映了所有其它隨機因素的干擾．其中p為模型階次，即yt由前p個值決定．

(2) 滑動平均模型（MA）

 滑動平均模型moving average model，也稱移動平均模型，它將時間序列{yt}看成白噪聲序列的線性組合，為什麼誤差能描述模型呢？假設某個值可通過之間前N個值的平均值預測，稍作變化，即實際值可以通過前一值的預測值加誤差得到．因此實際值可用多個誤差值的累加來表示．其形式為：

(3) 迴歸滑動平均模型（ARMA）

 簡單地說：AR模型是建立當前值和歷史值之間的聯絡，MA模型是計算AR部分累積的誤差。ARMA是兩個維度的和．

(4) 資料預處理

 ARMA要求被分析的資料呈正態分佈，平穩，零均值．平穩性一般是指：均值為常數，方差為常數，且自協方差為常數．比如說上升的趨勢中，均值就不是常數；如果震盪幅度越來越大，則方差不是常數。
 如果僅是均值非０的情況，可減去均值；如果趨勢可用線性擬合，可以減去擬合後的趨勢；另外還可以用差分，或者季節性差分的方法使之平穩；對於非正態分佈，可使用對數處理．

(5) 差分

 差分是將資料進行移動之後與原資料進行比較得出的差異資料，這裡的移動是指上移或者下移．簡單的說，比如對某支股票的價格資料做一階差分，就是將每日價格減去前一天的價格．
 在python中，差分運算可使用pandas的diff(periods=n)函式實現，其中n為階數，預設為一階差分，一階差分的具體操作是df.shift()-df．用於生成平穩資料，比如下面的曲線．

 一階差分後

 由此可見，差分之後，去掉了趨勢，均值趨於０．有助於分析其它特徵．

(6) 自相關與偏自相關（ACF&PACF）

 自相關acf和偏自相關pacf是分析時序資料的重要方法，是在平穩條件下求得的．
 自相關函式Auto Correlation Function，簡稱ACF．形如：

 Ｘ軸表示滯後值，Ｙ軸從[-1,1]，表示了這些值的相關性．比如左邊第一點相關性為1，就是說該點與它自己完全相關．從圖中可觀察到：12個月為週期的相關性相當明顯的．呼叫方法如下：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(df['xxx'])

 注意時序資料中不能包括空值，如果之前用了一次一階差分和一次十二階差分，應去掉前13個為空的值．
 圖中藍色部分是描述的統計顯著性，如果資料隨機分佈，Y軸的位置會在藍色區域之內．因此，要著重看藍色區域以外的點．
 自相關係數包含了其它變數影響下的相關關係，有時需要只考慮某兩個變數的相關關係，即偏相關係數．其中的偏字，指的是隻考慮首尾兩項的關係，把中間項當成常數，使用了偏導數的方法．使用方法如下：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
plot_pacf(df['xxx'])

(7) 拖尾和截尾

 我們通過觀察自相關圖和偏自相關圖來確使用哪種模型，以自相關圖為例，先看看圖片呈現的幾種形式．

 左邊的圖呈直線形式衰減，說明可能包括趨勢，需要進一步差分；中間是截尾圖，它指的是在某個值（如圖中的7）後截止為0；右則是拖尾圖，指的是按指數形式或正弦形式有規律地衰減．
 如果自相關係數拖尾，偏自相關係數p階截尾，則使用p階的AR模型．
 如果自相關係數q階截尾，偏自相關函式拖尾，則使用q階的MA模型．
 簡單的講，它們兩個都是看截尾截在哪兒．
 如果自相關函式和偏自相關函式均拖尾，則使用ARMA模型，由於AR和MA相互影響，階數需要從小到大逐步嘗試．

(8) 模型檢驗

i. 模型對訓練資料的擬合
 用模型對訓練資料做擬合，用觀察或者計算誤差的方式，檢視二者差異，差異越小越好．

ii. 檢查殘差的自相關函式
 殘差的自相關函式應該沒有可識別的結構．

iii. AIC資訊準則
 AIC資訊準則Akaike information criterion，是衡量統計模型擬合優良性的一種標準，AIC值越小越好，也有根據AIC自動選引數的工具．

3. 步驟

 具體使用python呼叫statsmodels庫實現．statsmodels是一套統計工具集．具體需要考慮三個引數：d，p，q．其中d是消除趨勢的差分階數，p是AR階層，q是MA的階數．步驟如下：

(1) 做時序圖觀察基本的趨勢和週期．

(2) 分析平穩性，正態性，週期性；並對資料進行轉換．

(3) 做自相關和偏自相關圖，確定模型階次．

(4) 模型檢驗

(5) 用模型預測．

4. 問題與解答

(1) 做ARMA分析前是否應該剔除週期性因素？
 我們可以從自相關圖中看出週期性波動，比如上邊右側的拖尾圖，它說明某天與前7,14,21天都強相關．如果發現強相關，可先進行多階差分（季節差分）後，再進一步使用ARMA模型處理．需要注意的是各層次差分在預測時都需要對應的還原．

(2) 做長期預測時如何應對衰減？
 我在做鹽城上牌預測時就遇到了嚴重的衰減問題，當時需要預測之後幾百天的資料，而ARMA在預測了幾十天之後，就從類似正弦波型衰減成了一條直線，導致我最終放棄了該模型，改為使用線性擬合趨勢，嚴重損失了精度．後來看複賽排名第一的大神分享，他也使用ARMA，並且也有衰減問題，不同的是他採用按月預測，相比於按日預測，衰減就好得多，非常贊！

5. 參考