Prim算法

（哈欠）在創建最小生成樹之前，讓我們回憶一下什麽是最小生成樹。最小生成樹即在一個待權值的圖（即網結構）中用一個七拐八繞的折線串連起所有的點，最小嘛，顧名思義，要權值相加起來最小，你當然可以拿起筆來就算你腦中的每一種可能，但是如果你了解了這種算法，你就能跟我一樣，一次畫出完美答案。

上個栗子：

我先說一哈這個算法的方法論，然後我們來代碼實現一下，在講解開始之前，敲黑板，記得我們要生成一個權值最小的樹，所以每一步都要考慮到樹的每一個結點，不要孤立地用一個結點來對比從而走上死路，我們任選一個點開始生成，教材裏選的 v0，那我們就選 v8，戰鬥開始

v8 有三條路，分別通往v1 v2 v3，v2那條路權值最小，ok， v2→v8，然後我們該看什麽，如果你說找和 v2 相鄰的 v8 以外的邊，那我剛才的強調就gg了，我們找v2 和 v8除相連的線之外的所有分支，易得 v8→v1的權值最小，ok，下一步找哪幾個點？v2 v1 v8這三個點除兩條連接線以外的所有分支，挑最小的那一條，後面重復前面的操作，每次都把新加入的夥伴算在找線之內才對，自己畫一下給答案：

操作一遍是不是發現還真的跟哪個點開始沒雞兒關系，因為每個點都要連到，關鍵就在於沿最小分支找點的時候一定要把它看成一個樹結構來找，才算是最小生成樹。

還是給一下標準定義：

我們把構造連通網的最小代價（權值）生成樹 稱為最小生成樹 （Minimum Cost Spanning Tree）。

方法論就到這裏，相信下一次看到同樣的現實問題，你也應該能在第一時間用正確的思路找到合適的路。

在代碼實現之前，我們先請來連通圖的好基友——鄰接矩陣

我們發現一行一行的矩陣很容易顯示權值，這樣就可以快速對比權值的大小，只要在循環的每一步留存下權值較小的邊權值和頂點下標，就可以實現。

和以前一樣，我們還是用 INFINITY 來表示無限大，即不存在該邊

代碼如下：

 1 void MiniSpanTree_Prim(MGragh G)
 2 {
 3     int mini,i,j,k;
 4     int adjvex[MAXVEX]; //保存相關頂點下標
 5     int lowcost[MAXVEX]; //保存相關頂點間邊的權值
 6     lowcost[0] = 0;//這裏把第0位的權值置0表示v0已加入生成樹
 7     //ps：lowcost[i] = 0 表示i那個下標的頂點加入生成樹
 8     adjvex[0] = 0; //初始化第一個頂點的下標為0
 

 9     for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
10     {
11         lowcost[i] = G.arc[0][i];//將vo相關頂點的權值存入lowcost數組
12         adjvex[i] = 0;//置所有下標為v0
13     }
14     for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) //最小生成樹開始遼
15     {
16         mini = INFITINY; //先把權值的最小值置為無限大
17         j = 1;
18         k = 0;
19         while(j < G.numVertexes)
20         {
21             if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < mini)//判斷並向lowcost中添加權值
22             {
23                 mini = lowcost[j];
24                 k = j;
25             }
26             j++;
27         }
28         printf("(%d %d)",lowcost[k],k);
29         lowcost[k] = 0;//置0表示這個定點已經完成任務，找到最小權值分支
30         for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
31         {
32             if(lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
33             {
34                 lowcost[j] = G.arc[k][j];
35                 adjvex[j] = k;
36             }
37         }
38     }
39 }

簡單講解一哈：

• 4~5行，先說 adjvex[] ，這個數組要解決的問題就是存入已經安排好的那些頂點的下標，什麽叫安排好了呢，比如我已經找到了 v0→v1 ，v1 就可以算是安排好了，而v0點置0則算做初始化的操作；再說 lowcost[] 這個數組，聽名字就是最小權值的意思，下面講循環的時候詳解這個東西到底儲存了些什麽，然後每次更新之後能做什麽
• 6~13行完全是初始化，要註意的是就是 lowcost[] 儲存了鄰接矩陣 v0 這一行的權值
• 14~38行是最小生成樹的整體代碼
• 16行就是每次都把最小值重置
• 19~27行，從 1 開始遍歷完全，找到現在這個狀態下的最小權值數，並且把這個下標用 k 存住，28行就是把權值和下標打印出來，當然也可以換成別的操作，這裏不再贅述
• 然後29行，看看他都幹了些什麽，它把 adjvex[ k ] 置0，看一下第一點，這裏表示 v1 完成任務，沒有利用價值了
• 然後30~37這個循環，看看循環的條件，條件一： lowcost[ j ] != 0 ，這是啥意思，表示在沒有完成任務的頂點中選擇，條件二： G.arc[k][j] < lowcost[j] 這表示在剛才找到的新頂點的矩陣那一行去對應，如果有更小的權值就把 lowcost[] 更新掉，這樣就保證了這個數組中同時存在好幾個頂點的權值信息，還是擇優錄用的，然後返回循環頭，再找這次的最小權值點，周而復始。

時間復雜度 O（n²） ，沒啥問題遼

最後附上過程圖：

謝謝大嘎

（原創）最小生成樹之Prim（普裏姆）算法+代碼詳解，最懂你的講解