現實生活中，比如機器的臺數，參與工作的人數，可調動的車輛數，這些資料都是整數。因此對於變數中包含整數、或者完全是整數的規劃問題，我們稱之為整數規劃。在解決整數規劃常用的演算法便是單純形法。

課題名稱：任務的分配

設有甲、乙、丙、丁四個人，各有能力去完成A、B、C、D、E五項任務中的任一項，由於四個人的能力和經驗不同，所需完成各項任務的時間如表1所示.由於任務數多於人數，要求考慮如下問題：

（1）       任務E必須完成，其他四項中可任選三項完成；

（2）       要求有一個人完成兩項任務，其他人各完成一項；

（3）       要求任務A可由甲或丙完成，任務C可由丙或丁完成，任務E可由甲、乙或丁完成，且規定四個人中丙或丁能夠完成兩項任務，其他人完成一項任務。

試分別確定最優的分配方案，使得完成任務的總時間最少。

表1   每個人完成各項任務的能力

    由於任務數大於人數，所以需要有一個虛擬的人，設為戊。因為工作E必須完成，故設戊完成E的時間為M（M為非常大的數），即戊不能做工作E，其餘的假想時間為0，建立的效率矩陣如表2：

表2   每個人完成各項任務的能力

令第 i 個人表示甲、乙、丙、丁、戊，第 j 個任務分別表示A、B、C、D、E項任務，cij 表示第 i 個人完成第 j 個任務的時間（d）。設：

Z為完成任務的總時間（d）。則該問題的數學模型為：

為輸入程式方便，令M=1000.

方法一：Matlab求解

Matlab程式：

c=[25 29 31 42 37;39 38 26 20 33;34 27 28 40 32;24 42 36 23 45;0 0 0 0 1000];
n=size(c,1);  
c=c(:);
a=zeros(2*n,n^2);
for i=1:n
    a(i,(i-1)*n+1:n*i)=1;
    a(n+i,i:n:n^2)=1;
end
b=ones(2*n,1);
[x,y]=linprog(c,[],[],a,b,zeros(n^2,1),ones(n^2,1));
X=reshape(x,n,n);
X_min=round((X)),y

Matlab執行結果：

Optimization terminated.
X_min =
     0     1     0     0     0
     0     0     0     1     0
     0     0     0     0     1
     1     0     0     0     0
     0     0     1     0     0
y =105.0000

方案：甲——B ,乙——D ,丙——E ,丁——A ,  總時間為105（d）.

方法二：lingo求解

Lingo程式：

model:
sets:
row/1..5/;
arrange/1..5/;
link(row,arrange):c,x;
endsets	
data:
c=25,29,31,42,37,39,38,26,20,33,34,27,28,40,32,24,42,36,23,45,0,0,0,0,1000;
enddata
[OBJ][email protected](link(i,j):c(i,j)*x(i,j));
x(1,1)+x(1,2)+x(1,3)+x(1,4)+x(1,5)=1;
x(2,1)+x(2,2)+x(2,3)+x(2,4)+x(2,5)=1;
x(3,1)+x(3,2)+x(3,3)+x(3,4)+x(3,5)=1;
x(4,1)+x(4,2)+x(4,3)+x(4,4)+x(4,5)=1;
x(5,1)+x(5,2)+x(5,3)+x(5,4)+x(5,5)=1;
x(1,1)+x(2,1)+x(3,1)+x(4,1)+x(5,1)=1;
x(1,2)+x(2,2)+x(3,2)+x(4,2)+x(5,2)=1;
x(1,3)+x(2,3)+x(3,3)+x(4,3)+x(5,3)=1;
x(1,4)+x(2,4)+x(3,4)+x(4,4)+x(5,4)=1;
x(1,5)+x(2,5)+x(3,5)+x(4,5)+x(5,5)=1;
@for(link(i,j):x(i,j)>=0;);
end

Lingo執行結果：

Global optimal solution found.
  Objective value:                              136.0000
  Infeasibilities:                              0.000000
  Total solver iterations:                             9
  Elapsed runtime seconds:                          0.04
               Variable           Value        Reduced Cost
               C( 1, 1)        25.00000            0.000000
               C( 1, 2)        29.00000            0.000000
               C( 1, 3)        1000.000            0.000000
               C( 1, 4)        42.00000            0.000000
               C( 1, 5)        37.00000            0.000000
               C( 2, 1)        1000.000            0.000000
               C( 2, 2)        38.00000            0.000000
               C( 2, 3)        1000.000            0.000000
               C( 2, 4)        20.00000            0.000000
               C( 2, 5)        33.00000            0.000000
               C( 3, 1)        34.00000            0.000000
               C( 3, 2)        27.00000            0.000000
               C( 3, 3)        28.00000            0.000000
               C( 3, 4)        40.00000            0.000000
               C( 3, 5)        1000.000            0.000000
               C( 4, 1)        1000.000            0.000000
               C( 4, 2)        42.00000            0.000000
               C( 4, 3)        36.00000            0.000000
               C( 4, 4)        23.00000            0.000000
               C( 4, 5)        45.00000            0.000000
               C( 5, 1)        34.00000            0.000000
               C( 5, 2)        27.00000            0.000000
               C( 5, 3)        28.00000            0.000000
               C( 5, 4)        23.00000            0.000000
               C( 5, 5)        45.00000            0.000000
               X( 1, 1)        1.000000            0.000000
               X( 1, 2)        0.000000            11.00000
               X( 1, 3)        0.000000            981.0000
               X( 1, 4)        0.000000            28.00000
               X( 1, 5)        0.000000            10.00000
               X( 2, 1)        0.000000            969.0000
               X( 2, 2)        0.000000            14.00000
               X( 2, 3)        0.000000            975.0000
               X( 2, 4)        0.000000            0.000000
               X( 2, 5)        1.000000            0.000000
               X( 3, 1)        0.000000            0.000000
               X( 3, 2)        0.000000            0.000000
               X( 3, 3)        1.000000            0.000000
               X( 3, 4)        0.000000            17.00000
               X( 3, 5)        0.000000            964.0000
               X( 4, 1)        0.000000            966.0000
               X( 4, 2)        0.000000            15.00000
               X( 4, 3)        0.000000            8.000000
               X( 4, 4)        1.000000            0.000000
               X( 4, 5)        0.000000            9.000000
               X( 5, 1)        0.000000            0.000000
               X( 5, 2)        1.000000            0.000000
               X( 5, 3)        0.000000            0.000000
               X( 5, 4)        0.000000            0.000000
               X( 5, 5)        0.000000            9.000000

lingo所得的方案與matlab一致。甲——B ,乙——D ,丙——E ,丁——A ,  總時間為105（d）.

lingo的執行結果怎麼解讀的問題，我已經在上一篇“非線性規劃”的文章中說了，不再贅述，不懂的同學可以過去看一看，以後用lingo解決的問題還會有，不會每次都講解怎麼看執行結果哦，希望見諒，下面是“非線性規劃”文章的連結。

    整數規劃問題是線性規劃問題的一種特殊情況，本例題為典型的非標準形式的指派問題，根據題目的不同要求，相應地新增虛擬人或任務以及修改效率矩陣。另外，在轉換成程式語言時，引進的M可以任意取定一個較大的數，方便計算的進行。