最優化方法一直是機器學習中非常重要的部分，也是學習過程的核心演算法。而 Adam 自 14 年提出以來就受到廣泛關注，目前該論文的引用量已經達到了 10047。不過自去年以來，很多研究者發現 Adam 優化演算法的收斂性得不到保證，ICLR 2017 的最佳論文也重點關注它的收斂性。在本文中，作者發現大多數深度學習庫的 Adam 實現都有一些問題，並在 fastai 庫中實現了一種新型 AdamW 演算法。根據一些實驗，作者表示該演算法是目前訓練神經網路最快的方式。

Adam 過山車

Adam 優化器之旅可以說是過山車（roller-coaster）式的。該優化器於 2014 年推出，本質上是一個出於直覺的簡單想法：既然我們明確地知道某些引數需要移動得更快、更遠，那麼為什麼每個引數還要遵循相同的學習率？因為最近梯度的平方告訴我們每一個權重可以得到多少訊號，所以我們可以除以這個，以確保即使是最遲鈍的權重也有機會發光。Adam 接受了這個想法，在過程中加入了標準方法，就這樣產生了 Adam 優化器（稍加調整以避免早期批次出現偏差）！

首次發表之時，深度學習社群都為來自原論文的一些圖表（如下圖）興奮不已：

Adam 和其他優化器的對比

訓練速度提高 200%！「總體來看，我們發現 Adam 非常魯棒，而且廣泛適用於機器學習領域的各種非凸優化問題」論文結尾這樣寫道。那是三年前，深度學習的黃金時期。然而，事情並沒有按照我們期望的方向發展。使用 Adam 訓練模型的研究文章少之又少，新的研究開始明顯地抑制了它的應用，並在幾個實驗中表明，SGD+momentum 可能比複雜的 Adam 表現更好。2018 fast.ai 課程開課之際，可憐的 Adam 被從早期課程中刪除。

但是到了 2017 年末，Adam 似乎又重獲新生。Ilya Loshchilov 和 Frank Hutter 在他們的論文《Fixing Weight Decay Regularization in Adam》中指出，每個庫在 Adam 上實施的權重衰減似乎都是錯誤的，並提出了一種簡單的方法（他們稱之為 AdamW）來修復它。儘管結果略有不同，但他們確實給出了一些類似下圖的令人鼓舞的圖表：

Adam 和 AdamW 對比

我們希望人們恢復對 Adam 的熱情，因為該優化器的一些早期結果似乎可以復現。但事與願違。實際上，應用它的唯一一個深度學習框架就是使用 Sylvain 編碼的 fastai。由於缺乏可用的廣泛框架，日常實踐者就只能固守又舊又不好用的 Adam。

但這不是唯一的問題。前面還有很多阻礙。兩篇論文指出了 Adam 在收斂性證明方面的明顯問題，儘管其中一篇提出了名為 AMSGrad 的修正（並在享有盛譽的 ICLR 大會上贏得了「最佳論文」獎）。但是，如果說我們從這種最戲劇化的生活（至少按照優化器的標準來說是戲劇化的）簡史中學到了什麼，那就是，沒有什麼是它表面看起來的樣子。的確，博士生 Jeremy Bernstein 指出，所謂的收斂問題其實只是選擇不當的超引數的跡象，也許 AMSGrad 也解決不了問題。另一名博士生 Filip Korzeniowski 展示了一些早期成果，似乎支援了 AMSGrad 這種令人沮喪的觀點。

啟動過山車

那麼我們這些只希望快速訓練精確模型的人該做些什麼呢？我們選擇用數百年來解決科學辯論的方式——科學實驗——來解決這一爭議！稍後將呈現所有細節，但首先讓我們來看一下大致結果：

• 適當調參之後，Adam 真的可以用！我們在以下幾個任務中得到了訓練時間方面的最新結果：

• 在含有測試時間增加的僅僅 18 個 epoch 或 30 個 epoch 上訓練 CIFAR10，直到其準確率超過 94%，如 DAWNBench 競賽； 

• 對 Resnet50 進行調參，直至其在斯坦福汽車資料集上的準確率達到 90%，只需訓練 60 個 epoch（之前達到相同的準確率需要 600 個 epoch）；

• 從零開始訓練一個 AWD LSTM or QRNN，歷經 90 個 epoch（或在一個 GPU 上訓練 1 個半小時），其困惑度在 Wikitext-2 上達到當前最優水平（之前的 LSTM 需要 750 個 epoch，QRNN 需要 500 個 epoch）。

• 這意味著我們已經看到使用 Adam 的超收斂！超收斂是訓練學習率高的神經網路時出現的一種現象，它表示節省了一半訓練過程。在 AdamW 之前，訓練 CIFAR10 至 94 % 的準確率需要大約 100 個 epoch。

• 與之前的工作相比，我們發現只要調整得當，Adam 在我們嘗試過的每一個 CNN 影象問題上都可以獲得與 SGD+Momentum 一樣好的準確率，而且幾乎總是快一點。

• 關於 AMSGrad 是一個糟糕的「解決方案」的建議是正確的。我們一直髮現，AMSGrad 在準確率（或其他相關指標）上沒有獲得比普通 Adam / AdamW 更高的增益。

當你聽到人們說 Adam 的泛化效能不如 SGD+Momentum 時，你基本上總會發現他們為自己的模型所選擇的超引數不咋地。通常 Adam 需要的正則化比 SGD 多，因此在從 SGD 轉向 Adam 時，確保調整正則化超引數。

文章結構：

1. AdamW

• 理解 AdamW

• 實現 AdamW

• AdamW 實驗和 AdamW-ish

2. AMSGrad

• 理解 AMSGrad

• 實現 AMSGrad

• AMSGrad 實驗的結果

3. 完整結果圖表

AdamW

理解 AdanW：權重衰減與 L2 正則化

L2 正則化是減少過擬合的經典方法，它會向損失函式新增由模型所有權重的平方和組成的懲罰項，並乘上特定的超引數以控制懲罰力度。以下本文所有的方程式都是用 Python、NumPy 和 PyTorch 風格的表達方式：

final_loss = loss + wd * all_weights.pow(2).sum() / 2

其中 wd 為我們設定的超引數，用以控制懲罰力度。這也可以稱為權重衰減，因為每一次運用原版 SGD 時，它都等價於使用如下方程式更新權重：

w = w - lr * w.grad - lr * wd * w

其中 lr 表示學習率、w.grad 表示損失函式對 w 的導數，而後面的 wd * w 則表示懲罰項對 w 的求導結果。在這個等式中，我們會看到每一次更新都會減去一小部分權重，這也就是「衰減」的來源。

fast.ai 檢視過的所有庫都使用第一種形式。在實踐中，幾乎都是通過向梯度 wd*w 而實現演算法，而不是真正地改變損失函式。因為我們並不希望增加額外的計算量來修正損失，尤其是還有其它簡單方法的時候。

既然它們是同一種表達，那麼我們為什麼需要區分這兩種概念呢？原因在於它們只對於原版 SGD 是等價的，而當我們新增動量或使用如 Adam 那樣複雜的最優化方法，L2 正則化（第一個方程）和權重衰減（第二個方程）就會存在很大的不同。在本文其餘的部分中，我們討論權重衰減指的都是第二個方程式，而討論 L2 正則化都是討論第一個經典方式。

如下在帶動量的 SGD 中，L2 正則化與權重衰減是不等價的。L2 正則化會將 wd*w 新增到梯度中，但現在權重並不是直接減去梯度。首先我們需要計算移動均值：

moving_avg = alpha * moving_avg + (1-alpha) * (w.grad + wd*w)

然後權重才能通過減去乘上了學習率的移動均值而得到更新。所以 w 更新中涉及到的正則化為 lr* (1-alpha)*wd * w 加上已經在 moving_avg 中前面權重的組合。

因此，權重衰減的更新方式可以表示為：

moving_avg = alpha * moving_avg + (1-alpha) * w.grad 
w = w - lr * moving_avg - lr * wd * w

我們可以觀察到，從 w 中減去有關正則化的部分在兩種方法中是不同的。當我們使用 Adam 優化器時，權重衰減的部分可能相差更大。因為 Adam 中的 L2 正則化需要新增 wd*w 到梯度中，並分別計算梯度及其平方的移動均值，然後再能更新權重。然而權重衰減方法只是簡單地更新權重，並每次從權重中減去一點。

顯然這是兩種不同的方法，在進行了實驗後，Ilya Loshchilov 和 Frank Hutter 建議我們應該在 Adam 演算法中使用權重衰減方法，而不是像經典深度學習庫中實現的 L2 正則化。

實現 AdamW

那麼我們要如何才能實現 AdamW 演算法呢？如果你們在使用 fastai 的庫，那麼在使用 fit 函式時新增引數use_wd_sched=True 就能簡單地實現：

learn.fit(lr, 1, wds=1e-4, use_wd_sched=True)

如果你更喜歡新的訓練 API，你就能在每一個訓練階段中使用引數 wd_loss=False：

phases = [TrainingPhase(1, optim.Adam, lr, wds=1-e4, wd_loss=False)]
learn.fit_opt_sched(phases)

以下簡要地概述了 fastai 是如何實現 AdamW 的。在優化器中的階梯函式，我們只需要使用梯度修正引數，根本不使用引數本身的值（除了權重衰減，我們將在外部處理它）。然後我們可以在最優化器之前通簡單的實現權重衰減，但這仍需要在計算梯度後才能完成，否則它就會影響梯度的值。所以在訓練迴圈中，我們必須確定計算權重衰減的位置。

loss.backward()
#Do the weight decay here!
optimizer.step()

當然，最優化器應該設定 wd=0，否則它還會做一些 L2 正則化，這也是我們不希望看到的。現在在權重衰減的位置中，我們可以在所有引數上寫一個迴圈語句，並依次採用權重衰減的更新。而我們的引數應該儲存在優化器的字典 param_groups 中，所以這個迴圈應該表示為如下語句：

loss.backward()
for group in optimizer.param_groups():
    for param in group['params']:
        param.data = param.data.add(-wd * group['lr'], param.data)
optimizer.step()

AdamW 實驗的結果：它真的能行嗎?

我們首先在計算機視覺問題上進行測試，效果非常好。具體來說，Adam 和 L2 正則化在 30 個 epoch 中獲得的平均準確率為 93.96%，在兩次中有一次超過 94%。我們選擇 30 個 epoch 是因為通過 1cycle 策略和 SGD 可以獲得 94% 準確率。當我們使用 Adam 與權重衰減方法，我們持續獲得 94% 到 94.25% 的準確率。為此，我們發現使用 1cycle 策略時的最優 beta2 值為 0.99。我們將 beta1 引數視為 SGD 中的動量，這也就意味著它學習率的增長由 0.95 降低到 0.85，然後隨學習率的降低而又增加到 0.95。

L2 正則化或權重衰減準確率

更令人印象深刻的是，使用測試時間增加（即在測試集的一個影象和它四個增加資料的版本上取預測的平均值），我們可以在僅僅 18 個 epoch 內達到 94 % 的準確率（平均 93.98 %）！通過簡單的 Adam 和 L2 正則化，每嘗試 20 次就會出現一次超過 94 % 的情況。

在這些比較中需要考慮的一點是，改變正則化方式會改變權重衰減或學習率的最佳值。在我們進行的測試中，L2 正則化的最佳學習率為 1e-6（最大學習率為 1e-3），而權重衰減的最佳值為 0.3（學習率為 3e-3）。在我們的所有測試中，數量級的差異都是非常一致的，主要是因為 L2 正則化被梯度的平均範數（相當低）有效地劃分，並且 Adam 的學習率相當小（所以權重衰減的更新需要更強的係數）。

那麼，權重衰減總是比 Adam 的 L2 正則化更好？我們還沒有發現明顯更糟的情況，但無論是遷移學習問題（例如斯坦福汽車資料集上 Resnet50 的微調）還是 RNNs，它都沒有給出更好的結果。

AMSGrad

理解 AMSGrad

AMSGrad 是由 Sashank J. Reddi、Satyen Kale 和 Sanjiv Kumar 在近期的一篇文章中介紹的。通過分析 Adam 優化器收斂的證明，他們在更新規則中發現了一個錯誤，該錯誤可能導致演算法收斂到次優點。他們設計了理論實驗，展示 Adam 失敗的情形，並提出了一個簡單的解決方案。機器之心也曾從適應性學習率演算法出發分析過這一篇最佳論文：Beyond Adam。

為了更好地理解錯誤和解決方案，讓我們來看一下 Adam 的更新規則：

avg_grads = beta1 * avg_grads + (1-beta1) * w.grad
avg_squared = beta2 * (avg_squared) + (1-beta2) * (w.grad ** 2)
w = w - lr * avg_grads / sqrt(avg_squared)

我們剛剛跳過了偏差校正（對訓練的開始很有用），把重心放在了主要點上。作者發現 Adam 收斂證明中的錯誤之處在於：

lr / sqrt(avg_squared)

這是我們朝著平均梯度方向邁出的一步，在訓練中逐漸減少。由於學習率常常是恆定或遞減的，作者提出的解決方案是通過新增另一個變數來跟蹤它們的最大值，從而迫使 avg _ square 量增加。

實現 AMSGrad

相關文章在 ICLR 2018 中獲得了一項大獎並廣受歡迎，而且它已經在兩個主要的深度學習庫——PyTorch 和 Keras 中實現。所以，我們只需傳入引數 amsgrad = True 即可。

avg_grads = beta1 * avg_grads + (1-beta1) * w.grad
avg_squared = beta2 * (avg_squared) + (1-beta2) * (w.grad ** 2)
max_squared = max(avg_squared, max_squared)
w = w - lr * avg_grads / sqrt(max_squared)

AMSGrad 實驗結果：大量噪音都是沒用的

AMSGrad 的結果令人非常失望。在所有實驗中，我們都發現它沒有絲毫幫助。即使 AMSGrad 發現的最小值有時比 Adam 達到的最小值稍低（在損失方面），其度量（準確率、f_1 分數…）最終總是更糟（詳見引言中的表格）。

Adam 優化器在深度學習中收斂的證明（因為它針對凸問題）和他們在其中發現的錯誤對於與現實問題無關的合成實驗很重要。實際測試表明，當這些 avg _ square 梯度想要減小時，這麼做能得到最好的結果。

這表明，即使把重點放在理論上有助於獲得一些新想法，也沒有什麼可以取代實驗（而且很多實驗！）以確保這些想法實際上有助於從業人員訓練更好的模型。

附錄：所有結果

從零開始訓練 CIFAR10（模型是 Wide-ResNet-22，以下為五個模型的平均結果）：

使用 fastai 庫引入的標準頭對斯坦福汽車資料集上的 Resnet 50 進行微調（解凍前對頭訓練 20 個 epoch，並用不同的學習率訓練 40 個 epoch）：

使用來自 GitHub（https://github.com/salesforce/awd-lstm-lm）的超引數訓練 AWD LSTM（結果顯示在有或沒有快取指標（cache pointer）情況下驗證/測試集的困惑度）：

使用來自 GitHub repo 的超引數訓練 QRNN（結果顯示在有或沒有快取指標情況下驗證/測試集的困惑度）：

針對這一具體任務，我們採用了 1cycle 策略的修改版本，加快了學習速度，之後長時間保持較高的恆定學習速度，然後再往下降。

Adam 和其它優化器之間的對比