Putnam試題

For any positive integer n let denote the closest integer to $\sqrt{n}$，Evaluate $$\sum_{n=1}^{∞}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^{n}}$$

Solution:

Since $(k-\frac{1}{2})^{2}=k^{2}-k+\frac{1}{4}$ and $(k+\frac{1}{2})^{2}=k^{2}+k+\frac{1}{4}$

we have that=k，if and only if $k^{2}-k+1≤n≤k^{2}+k$，Hence $$\sum_{n=1}^{∞}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^{n}}$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}\sum_{n=k^{2}-k+1}^{k^{2}+k}\frac{2^{k}+2^{-k}}{2^{n}}$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}(2^{k}+2^{-k})(2^{-m^{2}+k}-2^{-k^{2}-k})$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}(2^{-k(k-2)}-2^{-k(k+2)})$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}2^{-k(k-2)}-\sum_{k=3}^{∞}2^{-k(k-2)}$$ $$=3$$

Alternate solution: rewrite the sum as $\sum_{n=1}^{∞} 2^{-n+<n>}+\sum_{n=1}^{∞} 2^{-n-<n>}$ Note that $<n>≠<n+1>$ if and only if $n=m^{2}+m$ for some m thus $n+<n>$ and $n-<n>$ each increase by 1 except at $n=m^{2}+m$ where the former skips from $m^{2}+2m$ tp $m^{2}+2m+2$ and the latter repeats the value $m^{2}$ thus the sums are $$\sum_{n=1}^{∞}2^{-n}-\sum_{m=1}^{∞}2^{-m^{2}}+\sum_{n=0}^{∞}2^{-n}+\sum_{m=1}^{∞}2^{-m^{2}}$$

$$=2+1=3$$

中國科大16年自主招生題

數列${a_{n}}$中，$a_{n}$是與$\sqrt{n}$最接近的整數，求$\sum_{n=1}^{2016}\frac{1}{a_{n}}$

解:設$a_{n}=k$，則$k-\frac{1}{2}＜\sqrt{n}＜k+\frac{1}{2}$ $$k^{2}-k+\frac{1}{4}＜n＜k^{2}+k+\frac{1}{4}$$ $$k^{2}-k+1≤n≤k^{2}+k$$ 所以使$a_{n}=k$的$n$有$2k$個

考慮到 $$45^{2}-45+1≤2016≤45^{2}+45$$ 即$$ 1981≤2016≤2070$$ 所以$${a_{n}=1的n有2個}$$ $${a_{n}=2的n有4個}$$ $$....... $$ $${a_{n}=44的n有88個}$$ $${a_{n}=45的n有36個}$$ 所以$$\sum_{n=1}^{2016}\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{1}+\frac{4}{2}+....\frac{88}{44}+\frac{36}{45}=88.8$$

${\color{Teal} {{Putnam競賽}}}$ 世界上最難的數學競賽 普特南數學競賽是由伊麗莎白洛厄爾普特南為紀念其逝去的丈夫威廉姆斯洛厄爾普特南所舉辦的比賽, 現由美國數學協會承辦. 每年的比賽都於十二月的第一個星期六進行. 參賽者為所有在美國以及加拿大的大學生, 且任何參賽者參賽次數不得超過四次. 比賽分為兩部分, 分別為上午(A試)與下午(B試). 每一試用時三小時且包含六道題(1938-1952年為7道題), 中間休息為午飯時間. 每一道題的分值為十分. 最後會有團體賽排名與個人賽排名. 前五名的學校會拿到一部分的獎金. 前五名的學生會獲得威廉姆斯洛厄爾普特南學者的稱號且每人獲得2500美金的獎賞. 6-15名的學生會獲得1000美金的獎賞. 16-25名的學生會獲得250美金的獎賞. 前100名學生獲得榮譽獎. 他們的名字會以首字母排序的方式刊登在十月份的美國數學月刊. 每一年得分最高的女性參賽者會被授予伊麗莎白洛厄爾普特南學者的稱號並獲得1000美金的獎賞.

Putnam競賽一道題及中科大自主招生試題的聯系