Tags: backTracking(回溯法)

具有限界函式的深度優先生成法稱為回溯法。（回溯法 = 窮舉 +　剪枝）

回溯法按深度優先策略搜尋問題的解空間樹。首先從根節點出發搜尋解空間樹，當演算法搜尋至解空間樹的某一節點時，先利用剪枝函式判斷該節點是否可行（即能得到問題的解）。如果不可行，則跳過對該節點為根的子樹的搜尋，逐層向其祖先節點回溯；否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜尋。

        回溯法的基本行為是搜尋，搜尋過程使用剪枝函式來為了避免無效的搜尋。剪枝函式包括兩類：1. 使用約束函式，剪去不滿足約束條件的路徑；2.使用限界函式，剪去不能得到最優解的路徑。

        問題的關鍵在於如何定義問題的解空間，轉化成樹（即解空間樹）。

       當問題是要求滿足某種性質（約束條件）的所有解或最優解時，往往使用回溯法。

       它有“通用解題法”之美譽。

二. 回溯法實現 - 遞迴和遞推（迭代）                               

1. 遞迴

1. //針對N叉樹的遞歸回溯方法
2. void backtrack (int t)  
3. {  
4. if (t>n) output(x); //葉子節點，輸出結果，x是可行解
5. else
6. for i = 1 to k//當前節點的所有子節點
7. {  
8. x[t]=value(i); //每個子節點的值賦值給x
9. //滿足約束條件和限界條件
10. if (constraint(t)&&bound(t))   
11. backtrack(t+1);  //遞迴下一層
12. }  
13. }

2. 遞推

1. //針對N叉樹的迭代回溯方法
2. void iterativeBacktrack ()  
3. {  
4.     int t=1;  
5.     while (t>0) {  
6.         if(ExistSubNode(t)) //當前節點的存在子節點
7.         {  
8.             for i = 1 to k  //遍歷當前節點的所有子節點
9.             {  
10.                 x[t]=value(i);//每個子節點的值賦值給x
11.                 if (constraint(t)&&bound(t))//滿足約束條件和限界條件 
12.                 {  
13.                     //solution表示在節點t處得到了一個解
14.                     if (solution(t)) output(x);//得到問題的一個可行解，輸出
15.                     else t++;//沒有得到解，繼續向下搜尋
16.                 }  
17.             }  
18.         }  
19.         else//不存在子節點，返回上一層
20.         {  
21.             t--;  
22.         }  
23.     }  
24. }  

三. 子集樹和排列樹                                 

1. 子集樹

       回溯法搜尋子集樹的演算法正規化如下：

1. void backtrack (int t)  
2. {  
3.   if (t>n) output(x);  
4.     else
5.       for (int i=0;i<=1;i++) {  
6.         x[t]=i;  
7.         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
8.       }  
9. }<span style="font-family:SimHei;">  
10. </span>  

2. 排列樹

1. <span style="font-size:18px;">void backtrack (int t)  
2. {  
3.   if (t>n) output(x);  
4.     else
5.       for (int i=t;i<=n;i++) {  
6.         swap(x[t], x[i]);  
7.         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
8.         swap(x[t], x[i]);  
9.       }  
10. } </span><span style="font-family:SimHei;font-size:24px;">  
11. </span>  

四. 經典問題                                    

本題的程式碼：

class Solution {
public:
	vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
		vector<vector<int>> res;
		vector<int> preCom;
		int size = candidates.size();
		backTracking(candidates, target, 0, preCom, res, size, 0);
		return res;
	}
	void backTracking(vector<int>& candidates, int target, int preSum, vector<int>& preCom, vector<vector<int>>& res, int& size, int ind){
		for (int i = ind; i < size; ++i){
			int tmp = preSum + candidates[i];
			if (tmp <= target){
				preCom.push_back(candidates[i]);
				if (tmp == target)
					res.push_back(preCom);
				if (tmp < target)
					backTracking(candidates, target, tmp, preCom, res, size, i);
				preCom.pop_back();
			}
		}
	}
};