BFPRT 演算法

又稱為 “中位數的中位數演算法”，該演算法由 Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan 在1973年提出，最壞時間複雜度為 O(n)，最差的空間複雜度為O(logn)。

演算法步驟

（1）：將 n 個元素劃分為 ⌊n/5⌋ 個組，每組 5 個元素，若有剩餘，捨去；
（2）：使用排序方法找到 ⌊n/5⌋ 個組中每一組的中位數；
（3）：對於（2）中找到的所有中位數，遞迴（1）（2）查詢中位數的中位數，作為Partition劃分過程的主元
（4）：進行Partition劃分，即一次快排
（5）：判斷主元的位置與 k 的大小，有選擇的對左邊或右邊遞迴。

演算法應用

BFPRT演算法的一個經典應用就是TOP-K問題，即在一組資料中尋找第K大或第K小的元素。
這類問題可以分為對資料完全排序，部分排序和不排序。
完全排序情況下可以使用快速排序等排序方法能達到O(nlogn)的時間複雜度。
部分排序可以使用氣泡排序，選擇排序等方法也能達到O(kn)的時間複雜度。
不排序的情況可以使用堆排序的方法，時間複雜度為O(nlogk)。
而BFPRT演算法解決這類問題能達到O(n)的時間複雜度！！

實現程式碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace
 
 std;
int array[]={1,12,3,4,1,5,2,7,8,88,5,2,32,1,35,-1,7,5,38,-11};

// 插入排序，返回中位數下標 
int insertSort(int left,int right){
    for(int i=left+1;i<=right;i++){
        int temp=array[i],j;
        for(j=i;j>left&&array[j-1]>temp;j--) array[j]=array[j-1];
        array[j]=temp;
    }
    return
 
 (left+right)>>1;
}

int BFPRT(int,int,int);

//返回中位數的中位數的下標
int getPivotIndex(int left,int right){
    if(right-left<5) return insertSort(left,right);
    int back=left-1;
    for(int i=left;i+4<right;i+=5){
        int index=insertSort(i,i+4);
        swap(array[++back],array[index]);
    }
    return BFPRT(left,back,((left+back)>>1)+1);
} 

//一趟快排 
int partition(int left,int right,int pivotIndex){
    swap(array[right],array[pivotIndex]);
    int mid=left;
    for(int i=left;i<right;i++){
        if(array[i]<array[right])
            swap(array[i],array[mid++]);
    }
    swap(array[right],array[mid]);
    return mid;     
}

int BFPRT(int left,int right,int k){
    int pivotIndex=getPivotIndex(left,right);
    int mid=partition(left,right,pivotIndex);
    int count=mid-left+1;
    if(count==k){
        return mid;
    }else if(count>k){
        return BFPRT(left,mid-1,k);
    } else{
        return BFPRT(mid+1,right,k-count);
    }
} 

int main(){
    int k=5;
    int length=sizeof(array)/sizeof(array[0]);
    for(int i=0; i<length; i++) {
        cout<<array[i]<<"  ";
    }
    cout<<endl<<"第"<<k<<"小為："; 
    cout<<array[BFPRT(0,length-1,k)]<<endl;
    return 0;
}

演算法複雜度分析

中位數的遞迴呼叫不超過最壞的線性情況，因為中位數列表是整個列表大小的20%，而其他的遞迴呼叫列表的最多70%，令T(n)為時間複雜度，則

• T(2n/10)部分是查詢⌊n/5⌋ 的中位數中的中位數，通過執行單獨的Quickselect
• T(7n/10)部分是實際的Quickselect遞迴
• O(n) 部分 c·n 是創造分界，其中的一邊遞迴進行Quickselect

使用歸納法，可以得到