概念

B樹，英文是B-tree，是一種平衡多路樹，這個不叫B減樹，就是B樹。

B樹是一種多路樹。因為他的子節點不止2個，可以是多個。

B樹是一種平衡樹。所謂平衡樹，指的是他的左右兩個子樹的高度差小於等於1，而且左右子樹的子樹高度差也小於等於1。其實B樹算是一種特殊的平衡樹，因為B樹的要求更高，要求左右子樹高度相同，也就是說，根節點到每個葉子節點的距離都相同。

約定

1，ceil(x)，這是一個向上取整的函式，比如ceil(1.1)=2。注意這不是四捨五入，而且是得到比引數大的那個整數。

2，B樹可以用階數來定義，階數代表了B樹的節點最多可以擁有的子節點數，後面用m來代表B樹的階數。

一個m階B樹的特性

1，除了葉子節點外，樹中每個節點，最少有ceil(m/2)個子節點，最多有m個子節點。

2，只要根節點不是葉子節點（那種情況只能是整個樹就一個根節點），那麼根節點最少有2個子節點。

3，所有葉子節點出現在同一層，即根節點到所有子節點的距離相同。

4，除了根節點之外，樹中每個節點最少有ceil(m/2)-1個關鍵字，最多有m-1個關鍵字。

5，假設一個節點中有x個關鍵字（K1，K2，……Kx），那麼需要滿足以下條件：

• 有x+1個子節點（P0，P1，……Px）。
• 節點中的x個關鍵字升序排列，即K(n-1)<Kn
• 子節點Pn中的元素都小於Kn，都大於K(n-1)，也就是說，節點和子節點中的關鍵字排序是P0，K1，P1，K2，P2，……Kx，Px。

比如下面的樹：

每個方框是一個節點

節點中的數字是關鍵字

Pn是指向子節點的指標

最上面是根節點，最下面是葉子節點，葉子節點沒有指向子節點的指標

B樹的查詢

在上面的B樹中，比如我們要找關鍵字32

1，比較根節點，32大於第一個關鍵字17，小於第二個關鍵字35，那麼查詢17和35之間的指標（P2）指向的節點（26和30那個）。

2，子節點中有關鍵字26和30，目標關鍵字32大於30，那麼查詢大於30的那個指標（P3）指向的節點（31和32那個）。

3，找到的子節點中有關鍵字31和32，在這個節點中可以找到目標關鍵字32。

向B樹中新增關鍵字

向一棵m階B樹中新增關鍵字時，需要考慮節點中的關鍵字數是否超過了上限。

m階B樹每個節點最多有m-1個關鍵字。

如果節點在新增完關鍵字之後（排好序），關鍵字數已經達到了m，該節點將分裂成兩個節點。

節點分裂的方式是，最中間的關鍵字向上移到父節點，大於和小於中間關鍵字的部分分別成為兩個新的節點。可以看到，節點分裂的時候父節點得到了一個新的關鍵字，如果分裂前父節點關鍵字樹已經飽和了（m-1個），會導致父節點也分裂，在最壞的情況下，分裂會一直進行到根節點，根節點一分裂，整個樹的高度都會加一。

舉個例子，以下五階B樹：

1，加入關鍵字40。可以很快定位到加入元素的位置是第三個葉子節點，加完之後樹變成了這樣：

2，加入關鍵字56。定位到新增關鍵字的位置，第四個葉子節點，加完之後樹變成這樣：

3，  加入關鍵字45。應該新增到第三個葉子節點，加完之後樹變成這樣：

還沒完，5階B樹每個節點最多4個關鍵字，這樣第三個葉子節點關鍵字超上限了，需要分裂。中間關鍵字35上升到父元素，因為35是從P3的節點來的，所以35在父節點中的位置就在小於P3的關鍵字30和大於P3的關鍵字50之間。葉子節點中小於35的關鍵字(31和32)組成新節點，大於35的關鍵字(40和45)組成新節點，然後樹變成這樣：

4，  加入關鍵字51。應該新增到第5個葉子節點，加完是這樣：

第五個葉子節點關鍵字數超上限，分裂之後中間元素56上移到父元素，變成這樣：

父節點得到了關鍵字56之後，關鍵字數也超上限了，也需要分裂，中間關鍵字35上移，大於和小於35的關鍵字分別形成新的節點，P3和P4指標的位置其實還是不變的，最終樹變成這樣：

整個樹增加了一層。

從B樹中刪除關鍵字

從B樹的節點中刪除關鍵字時，需要考慮刪除之後節點的關鍵字數量是否小於下限。

m階B樹的節點最少包含ceil(m/2)-1個關鍵字。

如果刪除之後節點中的關鍵字小於下限，則需要從子樹中獲取關鍵字，或從相鄰兄弟節點獲取關鍵字，或和相鄰兄弟節點合併。如果從子樹獲取關鍵字之後子樹依然能保持B樹的基本要求，則可以從子樹中獲取，否則看相鄰兄弟節點元素是否富餘，富餘的話可以從兄弟節點獲取元素，相鄰兄弟節點也不富餘就需要和兄弟節點合併。

從相鄰兄弟節點獲取關鍵字時，當然不是把兄弟節點的關鍵字直接拿過來，而是把當前節點和兄弟節點之間的那個父節點關鍵字拿過來，然後兄弟節點給父節點補一個關鍵字。

和兄弟節點合併時，需要把當前節點和兄弟節點之間的那個父節點關鍵字下移，然後和該節點還有兄弟節點組成新的節點，基於B樹節點關鍵字的數量要求，這樣合併出來的新節點關鍵字數不會超上限。這種方式在極端情況下可能會導致根節點下移合併，也就是樹的層數會減少1層。

舉個例子，以下五階B樹：

1，刪除關鍵字21。最普通的情況，第一個葉子節點刪除21之後，剩餘關鍵字數量3，不需要變動，刪完了變成這樣：

2，刪除關鍵字26。刪除26之後節點只剩下了30一個關鍵字，已經不滿足B樹的要求，可以從子節點中獲取關鍵字。在這個例子中只能從第一個葉子節點中獲取，把葉子節點中最接近被刪除關鍵字的元素22移到父節點，刪完了是這樣：

3，刪除關鍵字29。節點刪除29之後關鍵字只剩下了28，已經低於下限，沒有子節點可以獲取關鍵字，考慮從相鄰兄弟節點獲取。第一個葉子節點已經處於下限，只能從第三個葉子節點獲取關鍵字。步驟如下：把第二葉子節點和第三葉子節點之間的父元素關鍵字30移到第二葉子節點，然後第三葉子節點把距離30最近的關鍵字31補給父節點，移完之後樹是這樣的：

4，刪除關鍵字12。刪除12之後第一葉子節點就只剩下了5，低於下限。在這個例子中該節點沒有子節點，也不能從相鄰兄弟節點中獲取關鍵字（兄弟節點只有28和30兩個關鍵字，不能再減少），所以只能和相鄰兄弟節點合併。合併的步驟如下：把第一葉子節點和第二葉子節點之間的父節點關鍵字22下移，然後和第一葉子節點和第二葉子節點組成新的節點，合併完成之後的樹是這樣的：

此時父節點只有一個關鍵字31，小於下限，和直接刪除該節點的關鍵字不同，無法再從子節點中獲取關鍵字，在這個例子中也無法從相鄰的兄弟節點獲取，只能考慮和相鄰兄弟節點合併，合併步驟：父節點關鍵字35下移，和兩個子節點組成新的節點，這個節點實際上成為了根節點，整個樹的高度減少了1，合併完的結果如下：

最基本的刪除例子就是這樣，實際上在層數比較多的情況下，刪除操作可能會更復雜一些。

關於B+樹

B+樹是由B樹變來的，B+樹和B樹有這樣的區別：

1，B+樹的非葉子節點不記錄資料本身，只記錄引用的連線。基於此特點，B+樹在非葉子節點的檔案會非常小。葉子節點會包含所有的關鍵字。

2，B+樹每個葉子節點都有指向相鄰的下一個兄弟葉子節點的指標。基於此特點，B+樹在範圍查詢上的效率比B樹高了很多。

3，這條區別是有爭議的，有人說B+樹的節點中關鍵字和子節點個數相同，也有人說B+樹和B樹一樣關鍵字比子節點少一個。

如果我們認為上述第三條中關鍵字和子節點個數是相同的，那B+樹就是這樣的：

向B+樹中新增關鍵字時，也存在節點分裂的情況，在節點分裂時，會生成一個新的節點，把原節點中一半的元素複製到新節點，在父節點中新增指向新節點的關鍵字和指標。

關於B*樹

B*樹是由B+樹變化來的，在B+樹的基礎上，B*樹的非葉子節點也有指向下一個兄弟節點的指標。

B*樹要求每個節點至少有2/3m個關鍵字，比B+樹的空間利用率高。

B*樹在新增關鍵字時也存在分裂的問題，在節點分裂時，可能會移動一部分關鍵字到兄弟節點中，然後在原節點中新增關鍵字並修改父節點的關鍵字和指標。如果兄弟節點已滿，則新建一個節點，把原節點和兄弟節點各移1/3關鍵字到新建節點，然後對應修改父節點。B*樹的新增關鍵字時的效率比B+樹要低。

以下是一個B*樹的例子：