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演算法_6：分治策略

阿新 • • 發佈：2019-02-11
  • 分解，解決，合併
  • 遞迴式的求解演算法：帶入，遞迴樹，主方法

最大子陣列問題

  • 最大子陣列的三種情況：A[low….mid]; A[mid+1……high]和跨域中點

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY（A，low, mid, high）

返回：下標元組跨越中點的最大陣列的邊界，並返回最大陣列的中值和

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY（A，low, mid, high）

1. left-sum=-無窮
2. sum=0
3. for i=mid down to low
4.      sum=sum+A[i]
5.      if
 
 sum >left-sum
6.         left-sum=sum
7.         max-left=i
8. right-low=-無窮
9. sum=0
10. for j=mid+1 to high
11.     sum=sum=A[j]
12.     if sum>right-sum
13.        right-sum=sum
14.        max-right=j
15.  return (max-left,max-right,left-sum+right-sum)
  • 演算法分析: O(n)
    A[low…high] 包含 n個元素

FIND-MAX-SUBARRAY演算法

//FIND-MAX-SUBARRAY(A,low,high)
1. if high==low
2.   return(low,high,A[low])
3. else mid= 下取整[(low+high)/2]
4.   (left-low,left-high,left-sum)=FIND-MAX-SUMARRAY(A,low,mid)
5.   (right-low,right-high,right-sum)=FIND-MAX-SUMARRAY(A,mid+1,high)
6.   (cross-low,cross-high,cross-sum)=FIND-MAX-CROSSING-SUMARRAY(A,low,mid
 
,high)
7. if left-sum>=right-sum and left-sm >=cross-sum
8.    return (left-low,left-high,left-sum)
9. else right-sum>=left-sum and right-sum>=cross-sum
10.   return (right-low,right-high,right-sum)
11. else return(corss-low,cross-high,cross-sum)

演算法分析

T(n){O(1).........若n=12T(n/2)+O(n)......其他
  • 複雜度：T(n)=O(nlng)

strassen演算法的矩陣乘法

暴力

  • 矩陣乘法, 計算n2個數
    Cij=∑nk=1aik∗bkj
//矩陣乘法
1. n=A.rows
2. let C be a new n*n matrix
3. for i=1 to n
4.   for j=1 to n
5.       c_ij=0
6.       for k=1 to n
7.           c_ij=c_ij+a_ik*b_kj
8. return C
  • 複雜度： O(n3)

簡單分治

[C11C21C12C22]=[A11A21A12A22]∗[B11B21B12B22] 
//直接遞迴
S-M-N-R(A,B)
1. n=A.rows
2. let C be n*n matrix
3. if n==1
4.    c_11=a_11*b_11
5. else partition A,B,C as 上式
6.    C_11=S-M-N-R(A_11,B_11)+S-M-N-R(A_12,B_21)
7. ......
8. return C
  • 複雜度
    1. n==1……….T(1)=O(1)
    2. n>1…………..遞迴
      T（n）=8T(n/2)+O(n^2)……….T(n)=O(n^3)

strassen

  1. n==1……….T(1)=O(1)

    1. n>1…………..遞迴
      T（n）=7T(n/2)+O(n^2)……….T(n)=O(n^3)

      • 複雜度減少到：O(nlg7)

代入法求解遞迴式

  1. 猜測解得形式
  2. 歸納法求解常數，證明正確性

遞迴樹法

T(n)=3T(⌊n/4⌋)+cn2

  • 計算遞迴樹的高度
    n/4i=1..........i=log4n.........遞歸樹有log4n層

  • 每層代價，每層的結點數是上一層的3倍
    i 結點的結點數是3i

  • 每層的子問題規模是上一層的1/4

  • 第i層的代價nlog43個T（1）

這裡寫圖片描述

  • 整棵樹的 代價
    T(n)=cn2+316cn2+(316)cn2+......+(316log4(n−1))cn2+O(nlog43)
    <O(n2)

主方法

  • 遞迴式T(n)=aT(a/b)+f(n)
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