樹的重心

定義：找到一個點,其所有的子樹中最大的子樹節點數最少,那麼這個點就是這棵樹的重心,刪去重心後，生成的多棵樹儘可能平衡。

演算法流程

首先，利用前向星存邊建立邊表。由於無向，所以要連兩次邊。我們用一次 dfs()$dfs()$ 建立以1為根節點時每個結點所在子樹的結點數。

接下來考慮把這個點刪掉的結果，如果一個非根結點有 p$p$ 個兒子，那麼刪掉這個點之後會有 p+1$p+1$ 個連通分量，因為這個結點不是根節點，那麼除了這個結點及它的所有子樹外還有一個連通分量，我們將之稱為這個結點的上方子樹。接下來，計算這些子樹（包括上方子樹）的 size$size$ 再從中找個最大值，因為總共有

size$size$ 的計算方法：

• 結點 u$u$ 的子樹，直接利用 size$size$ 即可。
• 結點 u$u$ 的上方子樹，可以利用求補集的思想，總共有 n$n$ 個結點，這個結點及其所有子樹的結點和為 size(u)$size(u)$， 那麼它的上方子樹的 size$size$ 就是 n−size(u)$n-size(u)$ 。

上述的計算過程都在 dfs$dfs$ 中執行完成，故時間複雜度和空間複雜度均為 O(n)$O(n)$

程式碼：

struct Tree {
    struct edgetype {
        int
 
 to, next;
    };
    int n, root, maxsize;
    std::vector< edgetype > edge;
    std::vector< int > head, size;
    Tree() : edge(0), head(0), size(0) {}
    Tree(int n) : n(n), head(n + 1, -1), size(n + 1) {}
    inline void AddEdge(int from, int to) {
        edge.push_back((edgetype){to, head[from]});
        head[from] = edge.size() - 1
 
;
    }
    void center(int u, int p) {
        size[u] = 1;
        int ret = 0;
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
            int v = edge[i].to;
            if (v == p) continue;
            center(v, u);
            size[u] += size[v];
            ret = std::max(ret, size[v]);
        }
        ret = std::max(ret, n - size[u]);
        if (ret < maxsize) {
            maxsize = ret;
            root = u;
        }
    }
};