中位數(第k大數)快速求法
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中位數即為一系列數中的大小在中間位置的數,快速找中位數的有效方法有:
1.排序法:先對陣列進行排序,時間複雜度為O(nlogn),然後選擇中間的數
2.快排的篩選法(類似於找第k大的數):思想是選定一個數,找比它大的數和小的數,然後根據數量再在大的部分或者小的部分迴圈遞迴找,時間複雜度應該為O(n)
如果給定兩個有序的系列,需要查詢他們共同的中位數,時間複雜度又會是多少呢?
1. 直接對兩個有序系列進行逐個元素比較,時間複雜度為O(m+n)
2. 採用二分查詢(類似於找第k大點),先以一個序列的基準點(二分來確定)來在另外一個系列中二分查詢,再不斷更新兩系列的上下界限,時間複雜度應該在O(logm*logn). 下面是一個程式的基本框架,不一定正確,只是提供架構思想,待以後碰到類似問題我將更新該程式碼:
double findMid(int pm,int m)
{
if(pm == 0 || pm == m){
if(m%2)return a[m/2]*1.0;
else return (a[m/2]+a[m/2-1])/2.0;
}
int low1=0,up1=pm-1,low2=pm,up2=m-1,mid1,mid2,num;
while(low2<=up2){
mid2=(low2+up2)/2;
while(low1<=up1){
mid1=(low1+up1)/2;
if(a[mid1]<=a[mid2])low1=mid1+1;
else up1=mid1-1;
}
num = mid1+(mid2-pm);
if(a[mid1]<=a[mid2]){
num +=1;
if(num == (m-1)/2)break;
else if(num < (m-1)/2){
low2=mid2+1;
up2=m-1;
low1=mid1+1;
up1=pm-1;
}
else{
low2=pm;
up2=mid2-1;
low1=0;
up1=mid1-1;
}
}
else{
if(num == (m-1)/2)break;
else if(num < (m-1)/2){
low2=mid2+1;
up2=m-1;
low1=mid1;
up1=pm-1;
}
else{
low2=pm;
up2=mid2-1;
low1=0;
up1=mid1-1;
}
}
}
int ans,x;
if(num != (m-1)/2){
if(num > (m-1)/2)mid2--;
ans = (m-1)/2-(mid2-pm+1);
}
else ans = mid2;
if(m%2)return a[ans]*1.0;
else {
if(ans<pm){
if(mid2<m-1&&ans<pm-1)x=a[ans+1]>a[mid2+1]?a[mid2+1]:a[ans+1];
else if(mid2<m-1)x=a[mid2=1];
else if(ans<pm-1)x=a[ans+1];
return (x+a[ans])/2.0;
}
else{
if(ans<m-1&&a[mid1]>a[ans])x=a[ans+1]>a[mid1]?a[mid1]:a[ans+1];
else if(ans<m-1&&mid1<pm-1&&a[mid1]<=a[ans])x=a[ans+1]>a[mid1+1]?a[mid1+1]:a[ans+1];
else if(ans<m-1)x=a[ans+1];
else if(a[mid1]>a[ans])x=a[mid1];
else if(mid1<pm-1&&a[mid1]<=a[ans])x=a[mid1+1];
return (x+a[ans])/2.0;
}
}
}
但是如果給定的是一個動態的不斷增加的系列,期間需要不斷地查詢中位數,該怎麼辦呢?
1. 採用插入排序,這樣每次查詢的都是有序的系列。時間複雜度O(n*n)
2. 利用上面的兩個有序序列的思想,以一區間段M作為標準將系列分成兩個有序系列,其中第二個系列採用插入排序(M*M*n/M),如果達到M就和1系列歸併(n*n/M),查詢中位數則採用上面的方法(n*logn*logM)。總時間複雜度為O(nM+n*n/M+nlogn*logM),則M取n的平方根可能較好
3. 還有一種思路就是仍然採用插入排序,但是使用雙向連結串列插入排序,此外以M作為區間記錄M倍數的位置的節點,這樣插入過程只需找區間(n/M)以及在區間中找(M),則每次的時間複雜度為(n/M+M),而一箇中位數指標維護指向中間節點,插入大的考慮右移小的左移O(1)。這樣總的時間複雜度為O(n*(n/M+M)+1)及為O(n^1.5)
6. 如果查詢的第k大數的k呈現非遞減關係,則可以採用維護最大堆和最小堆。最小堆k個數。時間複雜度O(nlogn)
下面這道題即是:http://acm.scs.bupt.cn/onlinejudge/newoj/Statistic/Statistic.php?problem_id=67 採用方法3的程式碼:
#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define M 200
#define N 100001
struct Node{
int v;
Node *prev,*next;
}node[N];
Node *inde[N/M+2],*mid,*last,*start;
void insert(Node *add,int lm,int m)
{
if(last == NULL){
start = last = mid = add;
return;
}
if(last->v <= add->v){
last->next = add;
add->prev = last;
last = add;
}
else if(start->v > add->v){
add->next = start;
start->prev = add;
start = add;
for(int i = lm-1;i >= 0;i --)inde[i] = inde[i]->prev;
}
else{
int i = lm-1;
while(i>=0 && inde[i]->v>add->v){
inde[i] = inde[i]->prev;
i --;
}
Node *p;
if(i == lm-1)p=last->prev;
else{
p=inde[i+1];
if(p->v<=add->v)inde[i+1]=add;
}
while(p->v>add->v)p=p->prev;
add->prev = p;
add->next = p->next;
p->next->prev = add;
p->next = add;
}
if(mid->v<=add->v){
if(m%2)mid=mid->next;
}
else{
if(m%2==0)mid=mid->prev;
}
}
int main()
{
int n,m,lm;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
int i,x,tt;
m = 0;
lm = 0;
start=mid=last=NULL;
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x == 1){
scanf("%d",&tt);
Node *add = &node[m++];
add->v = tt;
add->next=add->prev=NULL;
insert(add,lm,m);
if(m%M == 0)
inde[lm++]=last;
}
else if(x == 2){
double ans = mid->v;
if(m%2==0)ans=(ans+mid->next->v)/2.0;
printf("%.1lf\n",ans);
}
}
}
return 0;
}
---------------------------------方法4------------------------
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100001
int a[N],b[N],tag[N],lm;
struct Node{
int v;
int count;
bool tag;
Node *l,*r;
}node[N];
Node * makeTree(int low,int up){
int mid = (low+up)/2;
while(mid>low&&a[mid]==a[mid-1])mid--;
Node *root = &node[lm++];
root->count = 0;
root->tag = false;
root->v=a[mid];
if(low<=mid-1)root->l=makeTree(low,mid-1);
else root->l=NULL;
if(mid+1<=up)root->r=makeTree(mid+1,up);
else root->r=NULL;
return root;
}
void insert(Node *root,int xx){
if(root->v>xx){
root->count++;
insert(root->l,xx);
}
else if(root->v==xx&&root->tag==false)
root->tag=true;
else
insert(root->r,xx);
}
int look(Node *root,int middle)
{
if(root->count >= middle)return look(root->l,middle);
else if(root->count == middle-1 && root->tag)return root->v;
if(root->tag)return look(root->r,middle-1-root->count);
return look(root->r,middle-root->count);
}
int main()
{
int i,j,x,n,m,resn;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
m = 0;
resn = 0;
lm = 0;
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x == 1){
scanf("%d",&a[m]);
b[m]=a[m];
m ++;
}
else if(x == 2){
tag[resn++]=m;
}
}
sort(a,a+m);
Node *root = makeTree(0,m-1);
j = 0;
for(i=0;i<m;i++){
insert(root,b[i]);
while(j < resn && tag[j] == i+1){
double ans = look(root,i/2+1);
if(i%2)ans = (ans+look(root,i/2+2))/2;
printf("%.1lf\n",ans);
j ++;
}
}
}
return 0;
}