題目：

冪運算有一些有趣的性質：9^3=27^2， 2^10=32^2 。給出一個整數n，找出滿足a^b=c^d(1≤a,b,c,d≤n)的式子有多少個，如：n=2時，滿足條件的式子有：

1^1 = 1^1

1^1 = 1^2

1^2 = 1^1

1^2 = 1^2

2^1 = 2^1

2^2 = 2^2

共有6個滿足條件的式子。

輸入：

一個整數n（1≤n≤10^5）

輸出：

滿足條件的式子的個數ans

思路： 首先，在不考慮a,b,c,d之間存在冪關係的情況下，可以發現滿足條件的式子的個數有一個通式 n*（2*n-1），得到的方法為先將以1為底的式子作為特例，那麼形式為1^n的式子組成滿足條件的等式的個數為n^2，然後再考慮以除1以外的數為底的式子，總共有n*(n-1)個式子滿足條件，那麼綜上所述，在不考慮冪關係的情況下，滿足題目條件的式子的個數為n*（2*n-1）；然後再考慮有冪關係的情況，假設n>32，以2^10 = 32^2為例，可以看成 (2^1)^10 = (2^5)^2，那麼對於冪的指數可以發現1*10 = 5*2，由此，對於i（1≤i≤n）存在冪關係 (i^x)^c = (i^y)^d ，意味著x*c = y*d，即 x/y = c/d，那麼問題就轉換為找到滿足x/y = c/d的個數，

import java.util.*;

public class JingDong 
{
	public final static long MOD = 1000000007;
	
	public static long gdc(long a,long b)   //求a和b的最大公約數
	{
		return (a%b==0)?b:gdc(b,a%b);
		
	}
	
	public static void main(String[] args) 
	{
		Scanner s = new Scanner(System.in);
		long n = s.nextLong();
		long ans = (long)n*(2*n-1) % MOD;  //算出不包含冪的總數
		Set<Integer> set = new HashSet<>();
		
		for(int i=2;i*i<n;i++)
		{
			if(set.contains(i))  //已經遍歷過，則跳過
				continue;
			long temp = i;
			long cnt = 0;
			
			while(temp<=n)  //算出x,y的值域，最大值cnt
			{
				set.add((int)temp);
				temp = temp*i;
				cnt++;
			}
			
			for(int k=1;k<=cnt;k++)  //遍歷x和y
			{
				for(int j=k+1;j<=cnt;j++)
				{
					ans = (ans + n/(j/gdc(k,j))*(long)2) % MOD;
				}
			}
			
		}
		
		System.out.println(ans);

	}

}
 

本人經驗，僅供參考！