BZOJ1547: 周末晚會

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1547

分析:

• 對於一個串旋轉若幹次會回到本身，旋轉次數即是同構個數，這個東西和最小整除周期有關。
• 設\(f_i\)表示有多少個串的最小整除周期是\(i\)，\(g_i=\sum\limits_{j|i}f_j,f_i=\sum\limits_{j|i}g_j\mu(i/j)\)。
• 那麽答案就是\(\sum\limits_{i|n}\frac{f_i}{i}\)。
• 當\(n\le K\)時，\(g_i=2^i\)， 否則，考慮求一個\(h_i\)表示長度為\(i\)重復出現次數小於等於\(K\)
  的個數(內部)，求\(h\)前綴和優化一下\(O(n)\)求， 那麽枚舉最長前綴1+最長後綴1的個數\(j\)，可得\(g_i=\sum\limits_{j=0}^{K}(j+1)\times h_{i-j-2}\)，這個也可以前綴和優化一下\(O(1)\)求。
• 考慮到有用的\(f,g\)一共約數個數個，時間復雜度為\(O(n+\sigma(n)^2)\)。

代碼:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
#define mod 100000007
#define N 2050
#define M 2050
typedef long long ll;
int n,K;
ll f[N],g[N];
int pri[M],cnt,mu[M];
bool vis[M];
int w[N],tot,mi[M],h[M],sum[M],sum2[M];
void ins(int x) {
    w[++tot]=x;
}
ll qp(ll x,ll y) {
    ll re=1; for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) re=re*x%mod; return re;
}
void sieve() {
    int i,j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            pri[++cnt]=i; mu[i]=-1;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) {
                mu[i*pri[j]]=0; break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
    scanf("%d%d",&n,&K);
    cnt=0;
    if(n<=K) {
        memset(f,0,sizeof(f));
        int i,j;
        sieve();
        for(mi[0]=i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*2%mod; 
        for(i=1;i<=n;i++) for(j=i;j<=n;j+=i) {
            f[j]=(f[j]+mi[i]*mu[j/i])%mod;
        }
        int ans=0;
        for(i=1;i<=n;i++) if(n%i==0) ans=(ans+f[i]*qp(i,mod-2))%mod;
        printf("%d\n",(ans%mod+mod)%mod);
        continue;
    }else {
        memset(h,0,sizeof(h));
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(h,0,sizeof(h));
        tot=0;
        int i,j;
        for(i=1;i*i<=n;i++) {
            if(n%i==0) {
                ins(i); if(n/i!=i) ins(n/i);
            }
        }
        sieve();
        for(mi[0]=i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*2%mod; 
        h[0]=1; sum[0]=1;
        for(i=1;i<=K;i++) h[i]=mi[i],sum[i]=(sum[i-1]+h[i])%mod;
        for(i=K+1;i<=n;i++) {
            if(i>K+1) h[i]=(sum[i-1]-sum[i-K-2]+mod)%mod;
            else h[i]=sum[i-1];
            sum[i]=(sum[i-1]+h[i])%mod;
        }
        for(i=0;i<=n;i++) sum2[i]=(sum2[i-1]+ll(n-i)*h[i])%mod;
        for(i=1;i<=tot;i++) {
            if(w[i]<=K+1) g[i]=mi[w[i]]-1;
            else {
                /*for(j=0;j<=K;j++) {
                    g[i]=(g[i]+ll(j+1)*h[w[i]-j-2])%mod;
                }*/
                ll ss2,ss1;
                if(w[i]>K+2) ss2=sum2[w[i]-2]-sum2[w[i]-K-3],ss1=sum[w[i]-2]-sum[w[i]-K-3];
                else ss2=sum2[w[i]-2],ss1=sum[w[i]-2];
                g[i]=((ss2-ll(n-w[i]+1)*ss1)%mod+mod)%mod;
                //g[i]=((sum2[w[i]-2]-sum2[w[i]-K-2]-ll(n-w[i]+1)*(sum[w[i]-2]-sum[w[i]-K-2]))%mod+mod)%mod;
            }
        }
        for(i=1;i<=tot;i++) {
            for(j=1;j<=tot;j++) if(w[j]%w[i]==0) {
                f[j]=(f[j]+g[i]*mu[w[j]/w[i]])%mod;
            }
        }
        int ans=0;
        for(i=1;i<=tot;i++) ans=(ans+ll(f[i])*qp(w[i],mod-2))%mod;
        printf("%d\n",(ans%mod+mod)%mod);
        continue;
    }
    }
}
 

BZOJ1547: 周末晚會