題目：

計算階乘n!=n*(n-1)*(n-2)*…3*2*1

用遞迴函式來表示為：

def f(x):

   if x==1:

       return 1

   return x*f(x-1)

計算5的階乘5！，執行正確。

接著計算大一點的數1000！：

可以看到執行結果報錯了，這是因為出現了棧溢位。

在計算機中，函式呼叫是通過棧（stack）這種資料結構實現的，每當進入一個函式呼叫，棧就會加一層棧幀，每當函式返回，棧就會減一層棧幀。由於棧的大小不是無限的，所以，遞迴呼叫的次數過多，會導致棧溢位。

在計算1000！時，遞迴函式使得函式呼叫次數非常多，層級很深，返回卻很少，導致堆疊無法容納大量的呼叫返回地址，從而產生溢位。

解決思路是：

對return語句進行尾遞迴優化，也就是避免在return語句裡出現表示式（上文程式碼中的‘return x*f(x-1)就是一個乘法表達式’），這樣直譯器或編譯器就會自動把尾遞迴進行優化，使得無論遞迴多少次函式，都只佔用一個棧，從而避免溢位的產生（原理上）。

def fact(n):

    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):

    if num == 1:

        return product

    return fact_iter(num - 1, num * product)

print fact(5)

上文程式碼是做了尾遞迴優化的情形，可惜的是python並不支援尾遞迴優化，python遞迴的次數在1000以內不會產生溢位，1000以上就要考慮用迴圈來代替了。

可修改成：

def function(x):

    s = 1

    if x == 1:

        return 1

    if x>1:

        for i in range(1,x+1):

            s = s*i

         return s

    else:

        return 'No Answer!'

print function(5)

print function(1000)已經可以正常輸出了。