遞迴: 在函式的定義中，函式內部的語句呼叫函式本身。

1、遞迴的原理

學習任何計算機語言過程中，“遞迴”一直是所有人心中的疼。不知你是否聽過這個冷笑話：“一個麵包，走著走著餓了，於是就把自己吃了”。

呵呵。

常理推斷，特別是解釋型語言，當程式執行函式內部的語句時，這個函式還沒有定義完，沒定義完怎麼可以呼叫本身呢。

但實質上，當你執行函式內部的語句時，一定有函式外部的語句呼叫了這個函式，此時該函式的所有程式碼和語句，已經在記憶體中形成了邏輯，這就是遞迴函式的原理。

在Python當中很重要的就是遞迴的使用。

2、遞迴的玩法

牛叔語錄：人類創造出的任何複雜的概念，都是為了讓事情變得更簡單一些。

遞迴是為了更好的解決，“自已定義自己”的數學或是哲學難題。

用好遞迴，有2個、2個、2個（重要的事情說3遍）要點，必須要同時注意，下面請各位評委看我的表演。

(1) 認清自己

認清自己是遞迴玩法的核心。與處理任何事情一樣，首先要問的就是：如何準確地定義好“當前要做的事情”。處理好這個問題，我們就已經成功了一半。

此處我們拿數學函式為例， 因為數學函式的定義有公式，顯而易見，它的意義就是根據變數來計算出結果，最容易被小白理解，栗子如下：

假設數學函式：

f(n) = (f(n-1) + 1)*2 ，告訴你f(1)=1，問f(10)是多少？

我們直接把這個f(n)定義成函式，並且計算f(10) 如下：

def f(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return (f(n-1)+1)*2

print(f(10))

結果是1534，執行正確。恭喜你這是一道著名的數學難題，你竟然輕鬆解決了，原題這樣：

猴子有一堆桃子，每天吃前一天剩下的一半多1個，昨天吃完發現剩了1個，那麼前10天它剩下多少個桃子？

我們公式中的n就表示前n天，公式結果就表示剩下了多少桃子，昨天的桃子y總比今天的x有這樣的關係：x = y/2 -1 所以：y=(x+1)*2，這個就是上面的公式。

在寫本遞迴函式時，語句基本上照抄數學公式，我們不知道解題過程就能求出答案，真是太神奇了！只要定義好，遞迴跑不了！慢著，別下結論，我們再看看如下的點。

（2）把握好方向

與上面的“猴子摘桃”同一個問題，原題我們改一下說法，問：

猴子第1天摘了一堆桃子吃了一半又多一個，第2天吃了剩下的一半又多一個，...，第10天早上時發現只有1個桃子了。問第1天摘了多少？這回我們把n設為第n天（而不是前n天）

與上面函式f類似，後項也是根據前項值來確定，為區別我們使用g()代表該函式:

g(n) = g(n-1)/2 -1 ，告訴你 g(10)=1，問g(1) 是多少？

牛叔說了，“只要定義好，遞迴跑不了”，我們先不管三七二十一，照抄上面的數學公式，“迅速而又準確”地把g(n)函式用如下的程式碼造了出來，如下：

def g(n):
    if n==10:
        return 1
    else:
        return g(n-1)/2 - 1

print(g(1))

 執行後卻出現瞭如下的錯誤，提示遞迴溢位！

 這是怎麼回事呢？因為我們還有第2個點，您沒有注意！

這個點就是 “要想遞迴不出錯，開車方向不能錯”，這個方向是指: 程式求解的方向必須和定義的方向相同，

此處我們要根據n=10的結果來求n=1，方向是：後項(10)->前項(1)，而程式中翻譯的公式是 前項（n-1)->後項(n)，根據公式寫的程式，也只能完成公式的求解順序，即：n從小到大的推導，

所以此時如果求g(100)，結果是這樣的，完全沒有問題（但沒有任何意義）：

-2.0

所以此處要通過我們的智慧把這個公式，“顛倒”過來變成：

g(n-1) = (g(n)+1) * 2    => g(n) = (g(n+1)+1) * 2 

這樣根據公式寫的程式碼，就可以完成從後項（n+1)推導到前項（n)的功能了！ 

如果不理解，小學二年級的代數再看一遍，具體程式如下：

1 def g(n):
2     if n==10:
3         return 1
4     else:
5         return 2*(g(n+1)+1)
6 
7 print(g(1))

終於得出了正確的結果，1534。答案和第1題一樣！猴子終於滿意了，10天的口糧有著落了。 

3、分解質因數練習

小學生專用名詞，別給嚇住了，其實就是把數字分解成不能再分解的乘法，比如：8=2*2*2， 10 = 2*5，而不是 8 = 2 * 4 這種可以再分解的。

此遞迴問題，是程式設計競賽常客，拿來練手比較合適。如下Python程式碼，對於本問題的解答充分說明了遞迴的方便之處，以分解了980這個整數為示例：

1 def defactor(N):  #定義一個函式名稱為defactor，意義是返回N的所有因子
2     for i in range(2,N): #從2開始試試
3         if N%i ==0: #如果試到i是N的因子的話，就返回i的所有因子和N/i的所有因子 的列表
4             return defactor(i)+defactor(int(N/i))
5     else:#如果沒有試到就說明這個N是一個質數，就直接包含它的 列表
6         return [N]
7         
8 print(defactor(980))

執行的答案是：

[2, 2, 5, 7, 7]

Bingo，在這裡函式defactor(N) 

（1）定義:  求出引數N所有因子的陣列，

（2）方向：整數 -> 最小的質數

首先，理解else:部分（程式碼中的第5，6兩行），

這是函式的，把方向的部分，小牛叔稱他為：結果產生部分，它能確保程式不會跑偏的程式碼，如果傳入的數字N沒有可以被整除的數字，即迴圈到頭了，才會執行這個部分，每一個質數因子都會從這個部分產生，因為最終的結果只能是質數。下圖樹中的所有葉節點（沒有子節點的葉子：2，2，5，7，7），就是從這個部分產生的，當執行到這個部分時，程式不會再往向下遞迴，所以不會產生下層的樹型結構。

再理解，遞迴的部分（2，3，4行）

通過迴圈來試因子，如果試到i是N的因子（即N可以被i整除）的話，就返回i的所有因子和 N/i的所有因子 組成的列表，因此下圖中所有從上到下的兩個箭頭對，就代表著這兩個遞迴呼叫。

通過這個樹形解題的過程，您會更加明白！

在整個程式遞迴執行時，看起來是從頂980開始向下求解執行，而求解的過程中結果卻是從最下層的7，7開始向上匯