前幾日電話面試，被問到一個問題： “浮點數計算精度丟失的原因是什麼？”啊，啥？ 我一臉懵逼，“就是在irb中，0.2+0.4不等於0.6，為什麼？“，面試官又補了一句。我沒有真正get到問題是什麼，胡說了一通。

顯然，這是問到了我的知識盲區了，我從來沒有遇到過這個問題。於是我開啟python命令列，執行了一下：

>>> 0.4 + 0.2
0.6000000000000001
>>>

我又開啟Chrome，進入console

0.2 + 0.4

0.6000000000000001

一下子，我get到了這個問題，對於其原因，當然我還是懵逼的，於是我搜索了一下這個問題。瀏覽過了一些資料，這個問題極大的引起了我的興趣，除了問題本身所涉及的知識，還有在

對於自己這方面的積累和刻意塑造，我想就從本篇文章開始，從這個有意思的問題開始：

為什麼浮點數計算時會有精度丟失？

什麼是浮點數？

浮點數是計算機表示有理數的一種方式，或者說規範。浮點數和定點數相對應。

什麼是定點數呢？ 這兩個詞中的‘點’也就是常說的小數點。定點數就是計算機在表示數字時，小數點的位置是固定的。

比如計算機用2位元組二進位制數來表示數字，它怎麼表示呢？ （這裡只是演示概念）

2個位元組有16位， 把前8位用來表示整數部分，後8位用來表示小數部分，也就是說小數點定在了第8位，當然具體定在多少位是可以設定的。用這種方式表示數字8.5時就是這樣：

00001000.00001001

這樣子，2位元組的二進位制只能表達2^8 =256個小數，而且範圍有限（0 - 2^8），很多時候會浪費空間。有時候我的整數部分比較長，小數部分短，有時候反之。按照之前的方式，範圍就會被限制，300.5 這種就沒法被表示，需要4位元組的空間來表示，那麼這就很浪費了。

於是浮點數就出現了。

浮點數在表示的時候，小數點的位置可以根據實際情況移動。

Sign表示是正數還是負數，先不管。

Exponent表示指數部分，和 1.34*10^N 這個數中的N的性質一樣，只是前面這個數的基數是10，它的基數是2 。這個部分的值會決定浮動的小數點到底定在哪個位置。

Mantissa就是實際的數字部分。

現在用浮點數來表示 5.2 ，整數部分是 101，小數部分是0.2，用二進位制表示就是

0.2 * 2 = 0.4    0

0.4*2 = 0.8      0

0.8*2 = 1.6      1

0.6*2 = 1.2      1

0.2*2 = 0.4      0

出來的結果就是 101.001100110011（這裡是無限迴圈，暫時只擷取一部分）

現在將上面這串數字填進上面那張圖上：

Sign： 0   因為是正數

Exponent： Exponent表示指數N的值是多少，也就是 1.1232 * 2^N的這個N的值。這裡要注意，因為N的值可為正，也可以為負。也就是說可以表達1.1232 * 2^5, 也可以表達1.1232 * 2^-5 這種數字，因為只有8個bit來表達Exponent， Exponent的取值範圍就是-127~127, 要用8個bit表達這個範圍，8個bit的範圍是0~255，也就是 0~127 表示 -127~0， 127~255表示0~127 。要表示N=1，則需要加上127的基數。也就是說 N=1 時，Exponent為 10000001。舉個反例，N=-1時，Exponent 為 00000001 。浮點數標準的表示正規化是: 小數點的左邊只有一個1，也就是說101.001100110011要表示成1.01001100110011 *2 ^2, 這裡的N=2。它意味著這裡小數點動態地定在了第三個數字這裡。

Mantissa： 1.01001100110011001100110 (只有23個bit來表示)

所以填充之後的整體就是這樣的：

0 10000010 01001100110011001100110  （共32位）

反向提取， 當看到上面這串二進位制時，我知道這幾個資料： 為正數； N=2，實際的浮點數是：1.01001100110011001100110 * 2^2

先說說十進位制 

說完浮點數的概念，先來看看十進位制。 123 在十進位制中我們知道是100 + 20 + 3，每往左一位，就會在10的冪上加一，往右，會在10的冪上減一。

同樣的在二進位制中，0101 表示十進位制中的5， 5=0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 , 每往左一位，會在2的冪上加一。

十進位制不能表達分數

十進位制可以表達100，12345，但十進位制能表達 1/3 嗎？

答案是不能。 為什麼？ 因為1/3是無限迴圈小數，表達不了，當精度不夠的時候，後面會被截斷。

會發現只有當分母的因式分解中有2或者5，那麼就可以表達成有限小數，也就是可能被10進製表達。

2*5=10 ，這是10進位制的限制。

二進位制不能表達大部分浮點數

看了上面十進位制不能表達部分分數，就可以理解二進位制不能表達很多浮點數了。除了表達範圍的問題，很多小數在用二進位制表達的時候會出現無限迴圈的情況。就像文章最上面的0.2，上面已經推導過，0.2得到的就是0.001100110011·····， 當後面的重複迴圈長度超過了計算機所能表達的範圍時，它就會被截斷。

也就是說

>>> 0.4 + 0.2
0.6000000000000001
>>>

0.4 和 0.2 在被計算機計算的時候，其值會被表達為近似值，精度在做運算之前就已經丟失了，結果肯定就變樣了。

彌補方法

突然想起了，之前做支付介面的時候，會疑惑為什麼要把人民幣單位乘以100弄成分，而不是元。當時如果深入想想這個問題，也不至於現在才知道計算機領域這種最基礎的常識了。

>>> 0.41 - 0.01
0.39999999999999997