博弈論應該算是一門獨立的學問吧，它是現代數學不斷進步的產物，是運籌學中重要的一部分。作為一個電腦科學與技術專業的學生，在這裡談論這高深的“博弈”二字實有不妥，所以，講的不好的地方請多見諒。

• Nim的遊戲規則(問題描述)：有N堆物品，每堆有M[i](1 <= i <= N)個物品，兩個人輪流從任意一堆上取任意多的物品，最後取光者勝。兩人都採取最優策略，問，是先手贏還是後手贏？

• 定理（亦是結論）：如果M[1] xor M[2] xor M[3] xor …… xor M[N] == 0，那麼先手輸，否則先手贏。(xor是位運算中的抑或操作)

在這裡，我主要是講解Nim Game中上述定理的推導證明，因為這是我一開始很難理解的地方，而且網上也不容易找到這個定理的詳細推導證明的過程。

推導過程(定理證明)：

N堆物品的情況太複雜了，我們首先來考慮一些簡單的情況。
1.M[1] == M[2] && M[1] == M[3] && …… && M[1] == M[N]，這種特殊情況下，若N為奇數，肯定是先手必贏，N為偶數時先手必輸，原因是：當N=1時，先手必贏；N等於2時，先手必輸，因為先手只能做這樣的操作(a,a)==> (a,b)，a > b >=0，當b==0時，後手就贏了，否則後手可以將狀態轉換成(b,b)；當N為3時，可以直接轉換成(a,a)這種情況，以此類推。當然，這個例子只是作為一個啟發，然後可以對應著上面的定理來看，或許能有一些感覺。
2.N == 1 && M[1] != 0的情況(其實也就是其它N - 1堆物品的數量均為0)，這種情況下，先手只要一次性把所有的物品取完，那麼就贏了。
3.N == 2 && M[1] == M[2] && M[1] != 0(其實也就是其它N - 2堆物品的數量均為0)，這種情況是先手輸。為什麼呢？不論先手取多少，後手只要在另外的一堆物品中取的物品的數量和他相等，最終肯定會變到情況2，然後這時該後手取物品，那麼後手就贏了。
4.N == 2 && M[1] ！= M[2] && M[1] != 0 && M[2] != 0, 這種情況是先手贏。因為先手可以把這個狀態轉移到情況3，然後就贏了。

我們來分析上述四種情況和定理之間的關係。
情況1，先手輸，M[1] xor M[2] xor …… xor M[N] == 0，N為偶數時，
先手贏，M[1] xor M[2] xor …… xor M[N] == 0，N為奇數時。
情況2，先手贏。M[1] != 0.
情況3，先手輸。M[1] xor M[2] == 0.
情況4，先手贏。M[1] xor M[2] != 0.

我們再來考慮一下N == 3（就是有3堆物品的數量不為0，其餘全為0）的情況。

5.N == 3 && M[1] xor M[2] xor M[3] != 0 && M[1] != 0 && M[2] != 0 && M[3] != 0，這種情況下我們一定會有方法到達下面的第6種情況或者第3種情況的。
6.N == 3 && M[1] xor M[2] xor M[3] == 0 && M[1] != 0 && M [2] != 0 && M[3] != 0，這種情況下肯定沒有任何兩堆物品的數量是相等的。假如M[1] == M[2]， 那麼M[1] xor M[2] == 0，0 xor 任何數是等於這個數的，所以和之前的條件肯定矛盾了。而且，此時你若從任何一堆物品中取走K個物品，肯定會有M[1] xor (M[2] - k) xor M[3] != 0(若在第2堆物品中取)。所以，這種情況要麼是到達第4中情況，要麼是到達第5種情況，而最終肯定會到達第4種情況的。所以，第5種情況先手贏，第6種情況先手會輸。

我們從N == 2推導到了N == 3，那麼只要你不嫌複雜，你肯定能從N == 3推導到N == 4的。我們可以一直推導到N很大的情況下。

PS：我並沒有講什麼P點和N點。因為我覺得從P點和N點的角度，可能不太是那麼容易講清楚，可能是自身理解的問題吧。在上述的推導過程中，P點即是敗點，N點即是勝點。意思就是，若先手的初始位置在N點，則先手肯定有辦法贏；若先手的初始位置在P點，則後手肯定會有辦法贏的。

其中，還有關於P點和N的三個簡單卻十分重要的屬性：

• 所有的終結點均是P點。
• 對於任意的N點，至少會有一種方法進入P點。
• 無論如何操作，P點只能進入N點。

所以，在回頭去看前面的推導過程，我們就會很輕鬆了。

非常感謝熱心的朋友給我指出錯誤，已經更正，thanks。