Nim遊戲的定義

Nim遊戲是組合遊戲(Combinatorial Games)的一種，準確來說，屬於“Impartial Combinatorial Games”（以下簡稱ICG）。滿足以下條件的遊戲是ICG（可能不太嚴謹）：

1. 有兩名選手；
2. 兩名選手交替對遊戲進行移動(move)，每次一步，選手可以在（一般而言）有限的合法移動集合中任選一種進行移動；
3. 對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決於這個局面本身，不取決於輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點數或者其它什麼因素；
4. 如果輪到某名選手移動，且這個局面的合法的移動集合為空（也就是說此時無法進行移動），則這名選手負。

必敗必勝策略的定義

定義P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是P-position，也就是“後手可保證必勝”或者“先手必敗”，現在輪到move的人有必勝策略的局面是N-position，也就是“先手可保證必勝”。更嚴謹的定義是：1.無法進行任何移動的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移動到P-position的局面是N-position；3.所有移動都導致N-position的局面是P-position。按照這個定義，如果局面不可能重現，或者說positions的集合可以進行拓撲排序，那麼每個position或者是P-position或者是N-position，而且可以通過定義計算出來。

例子

poj3537就是Nim遊戲的一種：
有個2人玩的遊戲在一個規模為1*n的棋盤上進行，每次一個人選擇一個地方畫上’X’,一旦某個人畫上X後出現了連續3個X，那麼這個人就贏了。給你n（3≤n≤=2000）問先手和後手誰會贏。

仔細思考一下我們發現，xxx的上一步只能是oxx，xox，xxo的其中一種，也就是說如果誰走出一步形成上述局面那麼誰就必敗。
再進一步說，如果你在第i個格子畫x，那麼i-1,i-2,i+1,i+2，都不可以畫x，因為那樣會必敗。
這樣題目就可以轉化為，輪流畫x，誰沒有格子畫x誰就輸。
以上例來進行一下計算，假設N為3，也就是OOOO，當前局面有4個子局面，XOOO，OXOO，OOXO，OOOX。
1. XOOO對於當前玩家只有一步可走，就是XOOX(別忘了上面說過每走一步，該位置左右共4個位置都不能)，所以XOOO就是一個N－position局面(後手輸)。
2. OXOO對於當前玩家無步可走，所以是一個P－position(先手輸)。
3. 4. OOXO,OOOX就不再贅述，前者P，後者N。
那麼OOOO顯然是一個N－position，因為他的子局面中有P－position(他當然會把這種局面留給自己的對手)。

根據上面這個過程，可以得到一個遞迴的演算法——對於當前的局面，遞迴計算它的所有子局面的性質，如果存在某個子局面是P-position，那麼向這個子局面的移動就是必勝策略。當然，會存在大量的重疊子問題，可以用DP或者記憶化搜尋的方法以提高效率。
但問題是，利用這個演算法，對於某個Nim遊戲的局面(a1,a2,…,an)來說，要想判斷它的性質以及找出必勝策略，需要計算O(a1*a2*…*an)個局面的性質，不管怎樣記憶化都無法降低這個時間複雜度。所以我們需要更高效的判斷Nim遊戲的局面的性質的方法，也就是Bouton’s Theorem，上面的參考連結裡有這個的詳細解釋與證明，就不貼了。

總之，通過Bouton’s Theorem，可以得到，如果a的子局面a1^a2^..^an == 0，a就是一個N－position，否則a是P－position。
這也解清了我對好多人用異或的一個疑惑。

程式碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 2009;
int sg[N];

int getsg(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    if(sg[n] != -1)
        return sg[n];
    bool f[N] = {};//對當前局面的子局面進行標記
    for(int i=1; i<=n; i++)
        f[getsg(i-3)^getsg(n-i-2)] = 1;//標記所有的子局面
    for(int i=0; ; i++)//如果子局面沒有0，則說明當前局面為P－position。
        if(!f[i])
            return sg[n] = i;
}

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        memset(sg, -1, sizeof(sg));
        if(getsg(n))
            cout<<"1"<<endl;
        else
            cout<<"2"<<endl;
    }
    return 0;
}