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大步小步演算法（BSGS）及擴充套件 & bzoj 2480

阿新 • • 發佈：2019-02-13

大步小步演算法用於解決離散對數問題：
求滿足ax≡y(modp)的最小自然數x，其中a、p互質，或者報告無解。

根據尤拉定理，aϕ(p)≡1(modp)，所以，如果有解，必然有一個在[0,ϕ(p))內。為了簡單起見，直接考察[0,p−1)。

讓我們運用meet-in-middle的思想。設x=km−r(1≤r≤m)，m是某個選定的數，那麼

(am)k≡yar(modp)
列舉r=1,2,...,m，將(yarmodp,r)存入一張表。列舉k=1,2,...,ceiling(pm)，查詢是否存在r使得yar≡(am)k。am用快速冪計算。如果存在，返回km−r；如果從未找到，則無解。

設表的插入和查詢的時間複雜度分別是O

(f(p))和O(g(p))，則本演算法的時間複雜度為O(mf(p)+pmg(p)+lgm)。由算術-幾何均值不等式，有mf(p)+pmg(p)≥2pf(p)g(p)−−−−−−−−√，等號當且僅當mf(p)=pmg(p)時取得。當使用雜湊表或者map時，f(p)=g(p)，於是m=p√時。因此，對於每一個p，取m=p√時演算法有最優複雜度。

使用雜湊表，BSGS的時間複雜度是O(p√)；使用map，BSGS的時間複雜度是O(p√lgp)。

以上通過設x=km−r而非km+r避免了求逆元，但是需要逆元存在，a、p$互質的條件保證了這一點。

如果a、p不互質怎麼辦呢？
轉化。

ax=y
+kp
若a>1，設g1=gcd(a,p)，則y必須含因子g1，否則無解。約去這個g1，得
ag1ax−1=yg1+kpg1
然而，也許g2=gcd(a,pg1)>1，那就再把g2約掉

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