快速冪

快速冪的作用：快速計算底數的n次冪。
時間複雜度為：O(log₂N)　（樸素方法為O(N)

原理

以下以求a的b次方來介紹
把b轉換成二進位制數
該二進位制數第i位的權為2i−1$2^{i-1}$
例：
　　a11=a20+21+23$a^{11}=a^{2^0+2^1+2^3}$
11的二進位制是1011
11=23×1+22×0+21×1+20×1$11=2^3\times 1+2^2\times 0+2^1\times 1+2^0\times 1$
因此，我們將a11$a^{11}$轉化為算a20×a21×a23$a^{2^0}\times a^{2^1}\times a^{2^3}$

程式碼

遞迴版

int powf(int a, int b){
    if(b == 1)
        return
 
 a;
    int t = powf(a, b/2);
    return (b%2 == 0 ? 1 : a)*t*t;
}

迴圈版

int pow0(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b != 0){
        if(b%2)
            r *= base;
        base *= base;
        b /= 2;
    }
    return r;
}

//常規求冪
int pow1(int a, int b){
    int r = 1;
    while(b--)
        r *= a;
    return
 
 r;
}

//快速求冪（位運算）
int pow2(int a, int b){
    if(b == 0)
        return 1;
    else {
        while((b&1) == 0){
            b >>= 1;
            a *= a;
        }
    }
    int r = a;
    b >>= 1;
    while(b != 0){
        a *= a;
        if(b & 1)
            r *= a;
        b >>= 1
 
;
    }
    return r;
}

//快速求冪（位運算，簡潔版）
int pow3(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b){
        if(b & 1)
            r *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

測試

#include <stdio.h>
//a^b
int powf(int a, int b){
    if(b == 1)
        return a;
    int t = powf(a, b/2);
    return (b%2 == 0 ? 1 : a)*t*t;
}
int pow0(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b != 0){
        if(b%2)
        r *= base;
        base *= base;
        b /= 2;
    }
    return r;
}
//常規求冪
int pow1(int a, int b){
    int r = 1;
    while(b--)
        r *= a;
    return r;
}
//快速求冪（位運算）
int pow2(int a, int b){
    if(b == 0)
        return 1;
    else {
        while((b&1) == 0){
            b >>= 1;
            a *= a;
        }
    }
    int r = a;
    b >>= 1;
    while(b != 0){
        a *= a;
        if(b & 1)
            r *= a;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}
//快速求冪（位運算，簡潔版）
int pow3(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b){
        if(b & 1)
            r *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

int main(void)
{
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("遞迴版：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, powf(a, b));
    printf("迴圈版：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow0(a, b));
    printf("常規求冪：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow1(a, b));
    printf("位運算1：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow2(a, b));
    printf("位運算2：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow3(a, b));
    return 0;
}

快速冪取餘

首先要證明一個公式：a*b%m = [($[($a%m)∗($)\ast ($b%m)]$)]$%m
a=a1∗m+a2$a=a_1\ast m+a_2$
b=b1∗m+b2$b=b_1\ast m+b_2$
a*b%m = a2∗b2$a_2\ast b_2$%m = [($[($a%m)∗($)\ast ($b%m)]$)]$%m
進而
ab$a^b$%m = [($[($a%m)b]${)}^b]$%m = [($[($a%m)∗($)\ast ($a%m)b−1]${)}^{b-1}]$%m = { ($($a%m)∗[($)\ast [($a%m)b−1${)}^{b-1}$%m]$]$ }%m

程式碼

#include <stdio.h>
long long powMod(long long a, long long b, long long mod)
{
    long long ans = 1;
    a %= mod;
    while(b){
        if(b&1)
            ans = ans*a%mod;
        a = a*a%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(void)
{
    int a, b, mod;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &mod);
    printf("%d^%d%%%d = %lld\n\n", a, b, mod, powMod(a, b, mod));
    return 0;
}